g3.1049 三角函数的化简、求值与证明
一、知识回顾
1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数
2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

二、基本训练
1、已知θ是第三象限角，且445
9
sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ）
A 、223
B 、223-
C 、23
D 、23
-
2、函数23
232
y sin x cos x =--+的最小正周期 （ ）
A 、2π
B 、π
C 、3π
D 、4π
3、tan 70cos10(3tan 201)- 等于 （ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－2
4、已知46
sin 3cos (4)4m m m
αα--=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。

5、设1
0,sin cos 2
απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。

三、例题分析
例1、化简：
4221
2cos 2cos 2.2tan()sin ()
44
x x x x ππ
-+
-+
例2、设3177cos(),45124
x x π
ππ
+=<<
，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。

例3、求证：sin(2)sin 2cos().sin sin αββ
αβαα
+-+=
例4、已知11
sin()cos [sin(2)cos ],022
αβααβββπ+-+-=<<，求β的值。

例5、（05北京卷） 已知tan 2
α
=2，求
（I ）tan()4πα+的值； （II ）6sin cos 3sin 2cos αα
αα
+-的值．
例6、（05全国卷Ⅲ）
已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x =+∈π求使()f x 为正值的x 的集合.
例7、(05浙江卷)已知函数f (x )＝－3sin 2
x ＋sin x cos x ． (Ⅰ) 求f (
256
π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)＝41
－32，求sin α的值．
四、作业 同步练习 g3.1049 三角函数的化简、求值与证明
1、已知1sin()43πα-=，则cos()4π
α+的值等于 （ ）
A 、223
B 、223-
C 、13
D 、13-
2、已知tan α、tan β是方程23340x x ++=的两根，且(,)22
ππ
αβ∈-
、，则αβ+等于 （）
A 、3π
B 、23π-
C 、3π或23
π- D 、3π-或23π
3、化简23cos (1sin )[2tan()]422cos ()42
x x
x x ππ+---为 （ ）
A 、sin x
B 、cos x
C 、tan x
D 、cot x
4、（全国卷Ⅲ）
22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+αα
αα
(A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)
12
5、（山东卷）函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0
,0
1),sin()(12
x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（ ）
（A ）1 （B ）22,1-
（C ）22- （D ）2
2
,1 6、（全国卷Ⅱ）设a 为第四象限的角，若
5
13
sin 3sin =a a ，则tan 2a =______________. 7、（北京卷）已知tan 2α=2，则tanα的值为－34，tan ()4
π
α+的值为－
8、已知tan()34
π
θ+=，则2sin 22cos θθ-的值为＿＿＿＿＿＿＿。

9、已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝＿＿. 10、求证：
2
1tan 1sin 2.12sin 1tan 2
2
ααα
α
++=--
11、已知2sin 22sin ()1tan 42
k ααππ
αα+=<<+，试用k 表示sin cos αα-的值。

12、求值：
2(3tan123)csc12.4cos 122
--
13、已知3
tan tan 3
αβ=，求(2cos 2)(2cos 2)αβ--的值。

答案：
基本训练、1、A 2、B 3、D 4、[－1，
7
3
] 5、74-
例题、例1、1cos 22x 例2、2875- 例3、略 例4、2
π
例5、解：（I ）∵ tan
2α=2, ∴ 22tan
2242tan 1431tan 2α
αα⨯=
==---; 所以tan tan
tan 14tan()41tan 1tan tan 4π
απααπαα+++==--=411347
13
-+=-+； （II ）由(I), tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()1
7346
3()23-+=--.
例6、解：∵()1cos 2sin 2f x x x =-+………………………………………………2分
12sin(2)4
x π
=+-…………………………………………………4分
()012s i n (2
)04
f x x π
∴>⇔+
->2
s i n (2
)4
2
x π
⇔->-
…………6分 52224
4
4
k x k π
π
π
ππ⇔-
+<-
<
+…………………………8分 34
k x k π
ππ⇔<<
+…………………………………………10分 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44
x ππ
π∈⋃………………………12分
例7、解：(Ⅰ) 251253sin ,cos 6
2
6
2
ππ== 225252525()3sin sin cos 06666
f ππππ∴=-+=
(Ⅱ) 331()cos 2sin 2222
f x x x =
-+ 31313
()cos sin 222242
f ααα∴=+-=-
011sin 4sin 162=-α-α 解得8
5
31sin ±=
α 0s i n ),0(>α∴π∈α 8
5
31s i n +=∴a
作业、1—5、DBBBB 6、4
3- 7、-71
8、45- 9、22- 10、略 11、1k - 12、43-
13、3。