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高中数学专题:三角函数的化简与求值


2+3,
则常数 a=________.
解析
1+2cos2x-1 f(x)= 2cos x +sin
x+a2sinx+π4
=cos x+sin x+a2sinx+π4
= 2sinx+4π+a2sinx+π4 =( 2+a2)sinx+4π. 依题意有 2+a2= 2+3, ∴a=± 3.
答案 ± 3
α
=2
2sin
α=-2
5
5 .
答案 A
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4.已知f(x)=sin2
x+4π,若a=f(lg
5),b=f(lg
1 5
),则(
)
A.a+b=0
B.a-b=0
C.a+b=1
D.a-b=1
解析 a=f(lg 5)=sin2(lg 5+4π)
1-cos2lg
2 .
又∵cosπ4-β2= 33,-2π<β<0, ∴sinπ4-β2= 36,
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∴cosα+2β=cosπ4+α-π4-β2 =cosπ4+αcosπ4-β2+sinπ4+αsinπ4-β2 =13× 33+232× 36=593. 答案 C
=-41+34+1=23.
点评 熟练运用诱导公式和基本关系式,并确定相应三角 函数值的符号是解题的关键.另外,切化弦是常用的规律 技巧.
变式训练2 (1)(四川)已知sin α+2cos α=0, 则2sin αcos α-cos2α的值是________. 解析 ∵sin α+2cos α=0, ∴sin α=-2cos α, ∴tan α=-2, 又∵2sin αcos α-cos2α=2sinsiαn2cαo+s αc-osc2αos2α
2θ+2cos2θ2)(sin
2θ-cos
θ 2)
=2cos θ2(sin2θ2-cos2θ2)
=-2cos
θ 2cos θ.
-2cos 故原式=
θ
2cos θ
θ =-cos
θ.
2cos 2
1+cos 20° (2)求值: 2sin 20° -sin
10°(tan15°-tan
5°).

原式=2×2s2icno1s021°0co°s
2tan α-1 = tan2α+1 ,
2×-2-1 ∴原式= -22+1 =-1. 答案 -1
(2)已知 cosπ6-θ=a (|a|≤1),则 cos56π+θ+sin23π-θ的值
是___0_____. 解析 cos56π+θ=cosπ-π6-θ =-cosπ6-θ=-a. sin23π-θ=sinπ2+6π-θ=cosπ6-θ=a,
10°-sin
cos 10°( sin
55°°-csoins
5° 5°)
=2csoisn
1100°°-sin
cos25°-sin25° 10°· sin 5°cos 5°
=2csoisn
1100°°-sin
cos 10°·1
10°
2sin 10°
=2csoisn 1100°°-2cos
cos 10°=
解析 原式=
sin 70°
2cos 30°·cos 20°+sin 30°·sin 20°-sin 20°

sin 70°
= c3ocsos202°0°= 3.
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1.(陕西)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的( ) A
4tan =5tan
αα- +23=45× ×22- +23=163.
方法二 由tan α=2,得sin α=2cos α,代入得 4sin α-2cos α 4×2cos α-2cos α 5sin α+3cos α=5×2cos α+3cos α =163ccoossαα=163.
(2)3sin2α+3sin αcos α-2cos2α的值.
1.六组诱导公式分两大类,一类是同名变换,即“函数名 不变,符号看象限”;一类是异名变换,即“函数名称变, 符号看象限”. 2.诱导公式化简的基本原则:负化正,大化小,化到锐角 为最好!
例 2 (1)化简:tanπc-osα-coαs-2ππ-siαns-inπ--αα+ 32π;

方法一
-tan 原式=
变式训练1 (2015·福建)若sin α=-153,且α为第四象限角,
则tan α的值等于( D )
12 A. 5
B.-152
5 C.12
D.-152
解析 ∵sin α=-153,且 α 为第四象限角, ∴cos α=1123,
∴tan α=csoins αα=-152,故选 D.
题型二 利用诱导公式化简与求值
解 3sin2α+3sin αcos α-2cos2α
3sin2α+3sin αcos α-2cos2α

sin2α+cos2α
3tan2α+3tan α-2 = tan2α+1
=3×222+2+3×1 2-2=156.
点评 本题(1)(2)两小题的共同点:都是正弦、余弦的齐 次多项式.对于这样的多项式一定可以化成切函数,分式 可以分子分母同除“cos α”的最高次幂,整式可以看成分 母为“1”,然后用sin2α+cos2α代换“1”,变成分式后再 化简.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 ∵sin α=cos α⇒cos 2α=cos2α-sin2α=0;
cos 2α=0⇔cos α=±sin α sin α=cos α,故选A.
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2.已知 sin52π+α=15,那么 cos α 等于( C )
10°-2sin 2sin 10°
20°
cos 10°-2sin30°-10°

2sin 10°
cos =
10°-212cos 10°- 2sin 10°
23sin
10°

23ssinin1100°°=
3 2.
(3)设
1+cos 2x f(x)=2sinπ2-x+sin
x+a2sinx+π4的最大值为
A.-52
B.-15
1 C.5
2 D.5
解析 sin52π+α=cos α=15.
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3.若 tanα+π4=12,且-π2<α<0,则2sicno2sα+α-siπ4n2α等于(
)
A.-2
5 5
35 B. 10
C.-3105
25 D. 5
点评 (1)二倍角公式是三角变换的主要公式,应熟记、巧 用,会变形应用. (2)重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、 变式”;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊 角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽 可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证 明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题 的整体形式中的差异,再选择适当的公式恒等变形.
∴cos56π+θ+sin23π-θ=0.
题型三 利用其他公式、代换等化简求值
两角和与差的三角函数的规律有三个方面:(1)变角,目的 是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配 凑”.(2)变名,通过变换函数名称达到减少函数种类的目 的,其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.(3)变式, 根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个 期 待 的 目 标 , 其 手 法 通 常 有 “ 常 值 代 换 ”“ 逆 用 变 用 公 式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.
变式训练3 (1)在△ABC中,已知三个内角A,B,C成等差
数列,则tan A2+tan
C2 +
3tan
A 2tan
C 的值为________. 2
解析 因为三个内角A,B,C成等差数列,
且A+B+C=π,
所以 A+C=23π,A+2 C=π3,tan
A+C 2=
3,
所以 tan
A2+tan
C2 +
解析 由 tanα+4π=t1a-n αta+n α1=12,
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得 tan α=-13.
又-2π<α<0,所以
sin
α=-
10 10 .
2sin2α+sin 2α 2sin αsin α+cos α

cosα-π4

2 2 sin
α+cos
例3
1+sin (1)化简:
θ+cos θsin 2+2cos θ
2θ-cos
θ 2(0<θ<π);
解 由 θ∈(0,π),得 0<θ2<π2,
∴cos
θ 2>0.
因此 2+2cos θ=
4cos2θ2=2cos
θ 2.
又(1+sin θ+cos θ)(sin
θ2-cos
θ 2)
=(2sin
θ 2cos
α·cos[π+π-α]·sinπ+π2-α cosπ+α·[-sinπ+α]
-tan =
α·[-cosπ-α]·[-sinπ2-α] -cos α·sin α
-tan α·cos α·-cos α = -cos α·sin α
-tan α·cos α = sin α
=-csoins
α cos α·sin
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