三角函数化简求值专题复习高考要求1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。
2、 掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）3、 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
热点分析1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至20XX 年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.【例1】求值：︒+︒︒⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.解：原式的分子︒︒︒+︒︒+︒=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2︒︒+︒=20cos 10cos 20sin 2︒︒+︒=20cos 10cos 40sin320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =︒︒︒=︒︒+︒=，原式的分母＝︒︒+︒=︒︒+︒80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()︒︒+︒+︒=80sin 80cos 40cos 40cos ︒︒︒+︒=80sin 20cos 60cos 240cos310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =︒︒︒=︒︒+︒=，所以，原式＝１．【变式】1、求值()︒+︒︒+︒+︒10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2解：()()25cos 25cos 45cos 225cos 250cos 40cos 25cos 21060cos 240cos 25cos 210sin 2310cos 21240cos 25cos 210sin 310cos 40cos 2=︒︒︒=︒︒+︒=︒︒-︒+︒=︒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒+︒+︒=︒︒+︒+︒=·原式 【变式】2、求0020210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-。
分析：原式=202020210sin 21140cos 140sin 140sin 140cos 3⋅-16160sin 200sin 1680cos 80sin 200sin 810sin 2180sin 41200sin 80sin 410sin 21)40cos 40sin ()140sin 140cos 3)(140sin 140cos 3(00000020002000000=-=-=⋅⋅-=⋅-+-= 【例2】已知23523sin cos παπαα<<=-，且，求αααtan 1sin 22sin 2-+的值解：原式=ααααααsin cos cos sin 2cos 2sin 2-+=()αααααsin cos sin cos 2sin -+∵523αsin αcos =-，上式两边平方，得：2518α2sin 1=-∴2572sin =α；又∵23παπ<<∴0sin cos 0sin 0cos <+<<αααα，，∴()()ααααααcos sin 4sin cos sin cos 22+-=+()25322sin 2sin cos 2=+-=ααα ∴524sin cos -=+αα，∴原式523524257⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=7528-= 【变式】已知7sin()241025παα-==，求sin α及tan()3πα+． 【解析】：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即57cos sin =-αα ①由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-== 故51sin cos -=+αα ②由①和②式得53sin =α，5cos =α因此，43tan -=α，由两角和的正切公式11325483343344331433tan 313tan )3tan(-=+-=+-=-+=+ααπα 【例3】（最值辅助角）已知函数f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1，（a 、b 为常数，a <0），它的定义域为[0,2π]，值域为[－3,1]，试求a 、b 的值。
解：f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1=a (1－cos2x )－3a sin2x +a +b －1 =－2a sin 12)6π2(-+++b a x∵0≤x ≤π2 ∴π6≤2x +π6≤π67 ∴1)6π2sin(21≤≤+-x∵a <0 ∴a ≤－2a sin ()26x +π≤－2a∴3a +b －1≤－2a sin ()26x +π+2a +b －1≤b －1∵值域为[－3,1] ∴⎩⎨⎧-=-+=-31311b a b ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=234b a 【变式】已知00<α<β<900，且sin α，sin β是方程-+-020240cos x )40cos 2(x 21=0的两个实数根，求sin(β-5α)的值。
解：由韦达定理得sin α+sin β=2cos400，sin αsin β=cos 2400-21 ∴ sin β-sin α=)40cos 1(2sin sin 4)sin (sin )sin (sin 0222-=βα-β+α=α-β040sin 2= 又sin α+sin β=2cos400∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=α=+=β0000005sin )40sin 240cos 2(21sin 85sin )40sin 240cos 2(21sin∵ 00<α<β< 90∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=α=β00585 ∴ sin(β-5α)=sin600=23【例4】（最值二次型）已知 αβαβαπβπ2222sin 21sin sin 2sin 2sin 346-=-<≤-，试求，的最值。
解：∵4πβ6π<≤-∴-22sin 21<≤β，21sin 02<≤β ∴1sin 202<≤β ∵23222sin sin sin βαα=- ∴03212≤-<sin sin αα即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≤≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-1sin 310sin 1sin 3201sin 2sin 30sin 2sin 322ααααααα或 ∴ 1αsin 320αsin 31<≤≤<-或y=41)21(sin sin 21)sin 2sin 3(21sin 21sin 22222--=--=-αααααβ 当sin α∈[32，1]时函数y 递增，∴当sina=23时 y min =92-； 当sin α∈(31-，0)时，函数y 递减，∴当sin α=0时，y min =21∴ 故当)sin 21(sin ,92)sin 21(sin 32sin 22min 22αβαβα--=-=时，无最大值【变式】设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.解：由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a aa ∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞) 故－22a －2a －1=21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.【例5】（角的变换）已知2π＜β＜α＜4π3,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________. 解：∵2π＜β＜α＜4π3,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜4π3, ∴sin(α－β)=.54)βα(sin 1)βαcos(,135)βα(cos 122-=+--=+=-- ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=【变式】（1）已知8cos(2α+β)+5cos β=0，求tan(α+β)·tan α的值； （2）已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ，求θ+θ2sin 42cos 3的值。
解：（1）从变换角的差异着手。
∵ 2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α ∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0 展开得：13cos(α+β)cos α-3sin(α+β)sin α=0 同除以cos(α+β)cos α得：tan(α+β)tan α=313（1）以三角函数结构特点出发 ∵3tan 1tan 2cos 3sin cos sin 2-θ+θ=θ-θθ+θ ∴ 53tan 1tan 2-=-θ+θ ∴ tan θ=2 ∴ 57tan 1tan 8tan 33cos sin cos sin 8)sin (cos 32sin 42cos 3222222=θ+θ+θ-=θ+θθθ+θ-θ=θ+θ 【例6】已知奇函数f (x )的定义域为实数集,且f (x )在[0,)+∞上是增函数，当02πθ≤≤时，是否存在这样的实数m ，使2(42cos )(2sin 2)(0)f m m f f θθ--+>对所有的[0,]2πθ∈均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，说明理由。