h1 A B
h2
C h4 h5 h3 h6
D
这个水准网可以列出7个条件方程,其中只有 3个是相互独立的,我们取：
h1 h3 h2 0 h1 h6 h4 0 h2 h5 h4 0
式中：
（a）
hi
表示观测量 hi 的平差值。
这就是用平差值表达的条件方程。
由于平差值应该等于观测值与其改正数之和， 即：
第三节 独立三角网条件平差
根据三角网中起算数据的多少，三角网有 独立三角网（网中仅有必要的起算数据）和非
独立三角网（网中具有多余的起算数据）之分。
三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方
法。本节讨论独立三角网按角度进行条件平差
时，条件方程式列立、法方程式组成和解算的
详细步骤和方法。
条件平差时，关键是列出条件方程。独立 三角网的观测量主要是三角形的内角，这些角 在几何上应该满足一定的条件，这些条件就是 列立条件方程的基础。 根据几何条件的不同，独立三角网的条件 方程分为图形条件、圆周角条件、极条件、基 线条件四种类型。
P
1
三、法方程的解
令 N = AP –1 AT （ 3）
则法方程式的形式为
N K+W =0 其中N 称为法方程式系数矩阵，是一个满 秩二次型方阵，其逆存在。从而可解出联系 数向量： K = －N –1 W （ 4）
四、条件平差的一般过程
（1）列出条件方程 AV +W=0
（2）组成法方程系数矩阵 N = AP –1 AT
p1 . P . .
. p2 . .
. . ... .
. . . pn
显然 P 是一个对角阵，其逆存在，且：
1 p1 . . . . 1 p2 . . . . ... . . . . 1 pn
第三章 控制网平差
• 完成控制网测量的外业工作后要进行 内业计算，内业计算分为概算、平差计 算和编制控制点成果表。本章重点介绍 独立三角网的条件平差方法。 • 第一节 • 第二节 • 第三节 测量平差的数学模型 条件平差原理 独立三角网条件平差
第一节
测量平差的数学模型
一、必要观测与多余观测
在测量工作中，最常见的问题是要确定 某些几何量的大小。由各种几何量构成的模型 （测量中就是各种控制网）就是几何模型。 为了确定一个几何模型，并不需要知道该 模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部 分元素，其它元素可以通过已知的元素确定。 能够唯一地确定一个几何模型所必要的元 素，称必要元素；确定必要元素的观测称为必 要观测。必要元素的个数用t 表示。
令其等于零，注意到 (PV )T = V T P，从而有： V T P =K T A 转置后左乘 P –1 得： V =P –1 ATK (1) 该公式表达了改正数 V 与联系数 K 的关系。
二、法方程式
将（1）式代入条件方程 AV +W=0 中得： AP –1 AT K+W=0 （ 2） 这就是条件平差的法方程式。式中，P为观测值 的权矩阵，设第 i 个观测值的权为 pi , 则
V －为n 1列阵，称为改正数向量； W－为r 1列阵，称为闭合差向量。
2、间接平差法
• 一个几何模型中，只会有 t 个独立量，如果平
差时就以这 t 个独立量为参数，模型中的所有
量都一定是这 t 个独立参数的函数，亦即每个
观测量都可表达成所选 t 个独立参数的函数。
• 选择几何模型中 t 个独立量为平差参数，将每
矩阵求导的两个公式：
(1) 设C为常数阵，X为列阵，则
d (CX ) C dX
(2)设Y、Z 均为列阵，则：
d (Y T Z ) T dZ T dY Y Z dX dX dX
一、改正数方程
函数 Ф = VTPV － 2 KT ( AV+W ) 对 V 求导：
d T T T V P ( PV ) 2 K A dV
例如: 为确定三角 形ABC，只需要3 个必要观测，它们 可以是： S1, a, b
或： S1, a, c
S2
C c
S3
或： S1, S2, b
或： S1, S2, S3
b a
……
B
S1
A
如果观测了所有六个元素，则有3 个多余观测
二、平差的数学模型
• 测量中是通过观测来确定控制网中的某些几 何量，因而考虑的模型总是数学模型。因为 观测量是一种随机变量，所以平差的数学模 型应同时包含函数模型和随机模型。函数模 型和随机模型总称为数学模型。 • 函数模型是由描述观测量和待求量间的函数 关系的模型，随机模型是描述观测量及其相 互间统计相关性质的模型。建立这两种模型 是测量平差中最基本而首先考虑的问题。
V=P –1 ATK
• 改正数
• 条件平差的一般过程
（1）列出条件方程 （2）组成法方程系数矩阵 AV +W=0 N = AP –1 AT K = － N –1 W V=P –1 ATK
（3）解法方程得到联系数
（4）计算改正数
（5）计算平差值
L L V
（6）精度评定（计算单位权方差、观测值中误 差、平差值函数的中误差等）
w限 2m n
式中， m 为角度观测中误差； n 为圆周角的个数。
三、极条件
以中点多边形为例，若从OA边出发， 依次解算三角形①、②、…，最后解算 出的OA边长应与出发边OA相等。即：
是确定条件方程满足VTPV=min 的唯
一解。
根据计算函数的条件极值的拉格朗 日乘数法则组成新函数： Ф = VTPV－ 2KT（AV+W)
其中： K =（k1, k2，…，kr )T 是拉格 朗日乘数，测量平差中称之为联系数 向量。 显然，只要令Ф对V的一阶导数等于 零就可以求出 VTPV 的极值。
一个观测量表达成所选参数的函数，即列出 n
个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，
称为间接平差法，又称参数平差法。
例如： △ABC中，观测量为其中的三个内角，选 定∠A和∠B为平差参数，设为X1和 X2，将 每一个观测量均表达为这两个平差参数的 函数，构成数学模型: C
L1 X 1 L2 X 2 L 3 X 1 X 2 180
• 为了确定一个几何模型就必须进行观测。如果 观测个数 n 少于必要元素的个数，即 n＜t，显 然无法确定该模型，出现了数据不足的情况； 若观测了 t 个独立量，n =t，则可唯一地确定 该模型。在这种情况下，如果观测结果中含有 错误，将无法发现。为了能及时发现错误，并 提高测量成果的精度，就必须使 n＞t，即必须 进行多余观测。多余观测的个数在测量中又称 “自由度”。令 r=n–t 显然， r 就是多余观测数。
2. 改正数表达的图形条件
平差值、观测值、改正数三者的关系为：
ai ai vai ;
bi bi vbi ; ci ci vci
代入用平差值表达的条件方程，整理后可得
（1）中点多边形和三角锁：
vai+vbi+vci+wi=0;
wi= ai+ bi +ci - 180º
（2）大地四边形：
各角度值之和不等于360°的现象，平差时
除了要满足三角形闭合条件外，还必须使中
心点处的角度满足下列条件：
a1
c
i
360 0
b1
c1 ci ai bi
用改正数表达的圆周角条件为：
v
ci
wo 0 ； wo ci 360
其中，wo 称为圆周角条件闭合差。 对wo应用误差传播定律，并以2倍中误差作 为限差，则圆周角闭合差的限差为：
• 测量平差通常是基于线性函数模型的， 当函数模型为非线性形式时，是将其用 泰勒公式展开，并取其一次项化为线性 形式。
• 对于一个实际平差问题，可建立不同形 式的函数模型，相应地就有不同的平差 方法。测量中常见的控制网平差方法有 条件平差和间接平差两种。
1、条件平差法
以观测量之间必须满足一定的条件方程为 函数模型的平差方法，称为条件平差法 。 例如：为了确定B、 C、D三点的高程， 其必要观测数 t =3， 实际观测了6 段高 差, 故多余观测数 r = n–t =3，应列出 3个线性无关条件 方程.
A
X1 L1
L3
X2 L2
B
令： L1 L1 v1 L L 2 L2 v2 L V v L3 L 3 3 0 1 0 X1 B 0 1 , X , d 0 X 2 1 1 180
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
0 w1 1 , W w2 w 0 3
V = ( v1
v2
v3
v4
v5
v6)T （c）
则条件方程可表达为以下矩阵形式： AV +W=0
这就是条件平差函数模型的一般形式。
条件方程
AV +W=0 中，
A －为r n 阶矩阵，称为系数矩阵；
则间接平差的函数模型可用以下矩阵形式表达：
L+V=BX+d 或： V=BX – l 此式称为间接平差误差方程。 式中，L 为观测值向量（ n 1 阶）； V 为改正数向量（ n 1 阶） ； B 为系数矩阵（ n t 阶） ； X 为未知数向量（ t 1 阶） ；
l =L – d 为常数矩阵（ n 1 阶） 。
bi ai
ci
an
bn
bi
cn
(a)
(b)
• 对于大地四边形，