§3.1LTI离散系统的响应•差分与差分方程•差分方程的经典解•零输入响应•零状态响应通信与信息工程学院江帆一、差分与差分方程设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2),…等称为f(k)的移位序列。

仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。

1. 差分运算t t t f t f t t f t t f t t f tt f t t t ΔΔ−−=Δ−Δ+=ΔΔ=→Δ→Δ→Δ)()(lim )()(lim )(lim d )(d 000离散信号的变化率有两种表示形式：k k k f k f k k f −+−+=ΔΔ)1()()1()()1()1()()(−−−−=∇∇k k k f k f kk f因此，可定义：（1）一阶前向差分定义：Δf(k) = f(k+1) –f(k)（2）一阶后向差分定义：∇f(k) = f(k) –f(k –1)式中，Δ和∇称为差分算子，无原则区别。

本书主要用后向差分，简称为差分。

（3）差分的线性性质：∇[af1(k) + bf2(k)] = a ∇f1(k) + b ∇f2(k)（4）二阶差分定义：∇2f(k) = ∇[∇f(k)] = ∇[f(k) –f(k-1)] = ∇f(k) –∇f(k-1) = f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2)（5）m阶差分:∇m f(k) = f(k) + b1f(k-1) +…+ b m f(k-m)2. 差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。

将差分展开为移位序列，得一般形式y(k) + an-1y(k-1) +…+ ay(k-n) = bmf(k)+…+ bf(k-m)差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。

例3-1-1：若描述某系统的差分方程为y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k)已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k),求y(k)。

y(k) = –3y(k –1) –2y(k –2) + f(k)y(2)= –3y(1) –2y(0) + f(2) = –2y(3)= –3y(2) –2y(1) + f(3) = 10 ……注：一般不易得到解析形式的(闭合)解。

二、差分方程的经典解y(k) + a n-1y(k-1) +…+ a 0y(k-n) = b m f(k)+…+ b 0f(k-m)与微分方程经典解类似，上述差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。

齐次解用y h (k )表示，特解用y p (k )表示，即y (k ) = y h (k ) + y p (k )1. 齐次解y h (k )齐次解是齐次差分方程y(k) + a n-1y(k-1) + …+ a 0y(k-n) = 0的解。

y h (k )的函数形式由上述差分方程的特征根确定。

（齐次解的函数形式见P87表3-1）齐次方程y(k) + a n-1y(k-1) + …+ a 0y(k-n) = 0其特征方程为1 + a n-1λ–1 + …+ a 0λ–n = 0，即λn + a n-1λn–1 + …+ a 0= 0其根λi ( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。

λ特征根r 重实根12j a jb eβλρ±±=，一对共轭复根＝r 重共轭复根()h y k 齐次解k C λ121210()r r kr r C k C k C k C λ−−−−++++L [cos()sin()]cos()k k C k D k A k C jD θρββρβθ+−=+j 或其中Ae 12112200[cos()cos()cos()]k r r r r r r A k k A k k A k ρβθβθβθ−−−−−−++++++L 单实根()f k 激励cos()sin()k k ββ或()p y k 特解m k ka 1110m m m m P k P k Pk P −−++++L 1110[]r m m m m k P k P k Pk P −−++++L 所有的特征根均不等于1；有r重等于1的特征根；kPa 1110()r r k r r P k P k Pk P a −−++++L 10()k Pk P a +a 不等于特征根；a 等于特征单根；a 等于r重特征根；cos()sin()P k k ββ+Q cos()k θβθ−j 或A ,其中Ae =P+jQj e β±所有的特征根均不等于2. 特解y p (k)特解的函数形式与激励函数的形式有关。

P87表3-2列出了几种典型得f (k )所对应的特解y p (k )。

例3-1-2：若描述某系统的差分方程为y(k)+ 4y(k –1) + 4y(k –2) = f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)= –1；激励f(k)=2k ，k ≥0。

求方程的全解。

特征方程为λ2 + 4λ+ 4=0可解得特征根λ1=λ2= –2，其齐次解y h (k)=(C 1k +C 2) (–2)k特解为y p (k)=P (2)k , k ≥0代入差分方程得P(2)k +4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k ，解得P=1/4所以得特解：y p (k)=2k–2, k ≥0故全解为y(k)= y h +y p = (C 1k +C 2) (–2)k + 2k–2, k ≥0 代入初始条件解得C 1=1 , C 2= –1/4三、零输入响应和零状态响应系统的全响应y (k )可以分解为零输入响应y x (k )和零状态响应y f (k )。

y (k )= y x (k ) + y f (k )零输入响应和零状态响应可以分别用经典法求解。

1010()(1)()()(1)()(1)n m m y k a y k a y k n b f k b f k b f k m −−+−++−=+−++−L L 已知单输入-单输出LTI 离散系统的激励为f (k )，其全响应为y (k )，那么，描述该系统激励f (k )与响应y (k )之间的关系的数学模型是n 阶常系数线性差分方程，表示如下：1. 零输入响应系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，称为零输入响应，用y x (k )表示。

在零输入条件下，(1)式可化为齐次方程：10()(1)()0(2)x n x x y k a y k a y k n −+−++−=L 通常，用y (-1)，y (-2)，…，y (-n)描述系统的初始状态。

(1)(1)(2)(2)(3)()()x x x y y y y y n y n −=−⎫⎪−=−⎪⎬⎪⎪−=−⎭M 一般设定激励是在k =0时刻接入系统的，在k <0时，激励尚未接入，因此（2）的初始状态满足：2. 零状态响应系统的初始状态为零，仅由激励f(k)引起的响应，称为零状态响应，用y f (k )表示。

在零状态条件下，(1)式仍为非齐次方程，其初始条件为零，即零状态响应满足：1010()(1)()()(1)()(1)(2)()0f n f f m m f f f y k a y k a y k n b f k b f k b f k m y y y n −−+−++−=+−++−⎫⎬−=−==−=⎭L L L 利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值y x (j )和y f (j ) ( j = 0, 1, 2 , …，n –1)()()()f fh p y k y k y k =+零状态响应为：例3-1-3：若描述某离散系统的差分方程为y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k)已知激励f(k)=2k , k ≥0，初始状态y(–1)=0, y(–2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。

（1）y x (k)满足方程y x (k) + 3y x (k –1)+ 2y x (k –2)= 0其初始状态y x (–1)= y(–1)= 0, y x (–2) = y(–2) = 1/2首先递推求出初始值y x (0), y x (1),y x (k)= –3y x (k –1) –2y x (k –2)y x (0)= –3y x (–1) –2y x (–2)= –1 , y x (1)= –3y x (0) –2y x (–1)=3方程的特征根为λ1= –1 ，λ2= –2 ，其解为y x (k)=C x1(–1)k +C x2(–2)k将初始值代入并解得C x1=1 , C x2= –2所以y x (k)=(–1)k –2(–2)k , k ≥0y f (k) + 3y f (k –1) + 2y f (k –2) = f(k) 初始状态：y f (–1)= y f (–2) = 0递推求初始值y f (0), y f (1)，y f (k) = –3y f (k –1) –2y f (k –2) + 2k , k ≥0y f (0) = –3y f (–1) –2y f (–2) + 1 = 1y f (1) = –3y f (0) –2y f (–1) + 2 = –1分别求出齐次解和特解，得y f (k) = C f1(–1)k + C f2(–2)k + y p (k)= C f1(–1)k + C f2(–2)k + (1/3)2k 代入初始值求得C f1= –1/3 , C f2=1 所以y f (k)= –(–1)k /3+ (–2)k + (1/3)2k , k ≥0（2）零状态响应y f (k) 满足y(k)= yx (k) + yf(k)=(–1)k–2(–2)k –(–1)k/3+ (–2)k + (1/3)2k = 2/3 (–1)k -(–2)k + (1/3)2k, k≥0（3）全状态响应y(k)四、本节小结差分方程的求解零输入响应、零状态响应。