. 可编辑 《高等数学》

专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.

（ ）5. 若)(xf在0x点可导，则)(xf也在0x

点可导.

（ ）6. 若连续函数)(xfy在0x

点不可导，则曲线)(xfy在))(,(00xfx点没有切

线. （ ）7. 若)(xf在[ba,]上可积，则)(xf在[ba,]上连续.

（ ）8. 若),(yxfz在（00,yx

）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(yxfz在

（00,yx

）处可微.

（ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(xf在区间)1,1(内具有二阶导数，且 1)0()0(ff, 则

)0(f为)(xf的一个极小值.

二、填空题.（每题2分，共20分）

1. 设2)1(xxf，则)1(xf .

2. 若1212)(11xxxf，则0limx . 3. 设单调可微函数)(xf的反函数为)(xg, 6)3(,2)1(,3)1(fff则)3(g .

4. 设y

xxyu, 则du . . 可编辑 5. 曲线326yyx在)2,2(点切线的斜率为 .

6. 设)(xf为可导函数,)()1()(,1)1(2xfxfxFf,则)1(F .

7. 若),1(2)(02xxdttxf则)2(f . 8. xxxf2)(在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分dxex20 . 10. 设D为圆形区域dxdyxyyxD5221,1

.

三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算))2(1)1(11(lim222nnnn.

2. 求1032)10()3()2)(1(xxxxy在（0，+）内的导数.

3. 求不定积分dxxx)1(1. 4. 计算定积分dxxx

053sinsin

.

5. 求函数22324),(yxyxxyxf

的极值.

6. 设平面区域D是由xyxy,围成，计算dxdyyyDsin. 7. 计算由曲线xyxyxyxy3,,2,1围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y

xyy2的通解.

四、证明题（每题10分，共20分）

1. 证明：2tanarcsin1xarcxx )(x. . 可编辑 2. 设)(xf在闭区间[],ba上连续，且,0)(xf

dttfdttfxFxxb0)(1)()( 证明：方程0)(xF在区间),(ba内有且仅有一个实根.

《高等数学》参考答案 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分） 1.√ ；2.× ；3.×； 4.× ；5.×； 6.× ；7.× ；8.× ；9.√ ；10.√.

二、 填空题.（每题2分，共20分） 1.442

xx； 2. 1； 3. 1/2； 4.dyyxxdxyy)/()/1(2；

5. 2/3 ； 6. 1 ； 7. 336

； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.

三、计算题（每题5分，共40分） 1.解：因为 21(2)nn222111(1)(2)nnnL21nn

且 21lim0(2)nnn，21limnnn=0 由迫敛性定理知： ))2(1)1(11(lim222nnnn=0

2.解：先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(lnxxxy

101022111xxxyy

)(10()1(xxy)10102211xxx 3.解：原式=xdx1

12

=xdx2)(1

12 . 可编辑 =2cxarcsin

4.解：原式=dxxx



023cossin

=2023sincosxdxx



2

2

3sincosxdxx

=2023sinsinxxd



2

2

3sinsinxxd

=202

5][sin52x

2

2

5][sin52x

=4/5 5.解： 02832yxxfx 022yxfy

故 00yx 或22yx

当 00yx时8)0,0(xxf，2)0,0(yyf，2)0,0(xyf

02)2()8(2 且A=08

 （0，0）为极大值点 且0)0,0(f

当 22yx时4)2,2(xxf， 2)2,2(yyf，2)2,2(xyf

02)2(42 

无法判断

6.解：D=yxyyyx2

,10),(

102sinsinyyDdxyydydxdy

y

y=dyxyyyy2][sin10 . 可编辑 =dyyyy)sin(sin10

=1010cos]cos[yydy

=1010cos]cos[1cos1ydyyy

=1sin1 7.解：令xyu，x

yv；则21u，31v

vvuuvvvuuvyyxxJvuvu21222

1



 3ln212131DdvvdudA 8.解：令 uy2，知xuu42)( 由微分公式知：)4(222cdxxeeyudxdx )4(22cdxxeexx )2(222cexeexxx 四.证明题（每题10分，共20分） 1.解：设 21arcsinarctan)(xxxxf



222222211111111)(xxxxxxxxf

=0

cxf)( x 令0x 0000)0(cf 即：原式成立。 . 可编辑 2.解： ],[)(baxF在上连续

且 dttfaFab)(

1

)(<0,dttfbFba)()(>0

故方程0)(xF在),(ba上至少有一个实根. 又 )(1)()(xfxfxF



0)(xf

2)(xF 即 )(xF在区间],[ba上单调递增 )(xF在区间),(ba上有且仅有一个实根.

《高等数学》 专业 学号 姓名 一、判断题（对的打√，错的打×；每题2分，共10分） 1.)(xf在点0x处有定义是)(xf在点0x

处连续的必要条件.

2. 若)(xfy在点0x不可导，则曲线)(xfy在))(,(00xfx

处一定没有切线.

3. 若)(xf在],[ba上可积，)(xg在],[ba上不可积，则)()(xgxf在],[ba上必不可积.

4. 方程0xyz和0222

zyx

在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.

5. 设*y是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y是其所对应的齐次方程的通解，则

*yyy为一阶线性微分方程的通解.

二、填空题（每题2分，共20分）

1. 设,5)(,12)3(afxxf则a . 2. 设xxxf3arcsin

)21ln()(，当)0(f 时，)(xf在点0x连续.