武科院试题 一、填空题（4×3分=12分） 1．设)(0x f '存在，则=--+→hh x f h x f h )3()2(lim0002. 函数593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值为 .3. 逐次积分⎰⎰=x xdy y x f dx I 22),(更换积分次序后为_______________________.4. 微分方程06'''=--y y y 的通解为 .二、单项选择题（4×3分=12分）1．设函数)(x f 在0x x =处连续，若0x 为)(x f 的极值点，则必有（A ）0)(0='x f （B ）0)(0≠'x f（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在 （D ）)(0x f '不存在2．设)(x f 是[0，+∞]上的连续函数，0>x 时，])([0'⎰dt t f x=(A))(x f - (B))(x f (C))(t f (D))(t f -3、 已知三点)1,0,1(-A ，)0,2,1(B -，)1,2,1(--C ，则=⨯AC AB（A ）63（B ） 62 （C ）26 （D ）364、函数xe xy u +=2在点（1,1）处的梯度为_______（A ）)1,2(e + （B ）)1(2e + （C ）)1(2e + （D ）)2,1(e +三、计算题（每小题7分，共56分）1．计算极限12cos 1lim21+-+→x x x x π 2. 求曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面及法线方程.3．设y xz arctan=，而v u y v u x -=+=,，求v u z z ,4. 设()()⎩⎨⎧-=-=t y t t x cos 14sin 2，求22dx y d5. 计算不定积分⎰dx x 2ln6. 计算二重积分σd yx D⎰⎰22，其中D 是由直线2=x ，x y =及曲线1=xy 在第一象限内所围成的闭区域. 7. 求微分方程x xy dxdy42=+的通解. 8. A , B 为何值时，平面054:=-++z By Ax π垂直于直线t z t y t x L 22,35,23:--=-=+=？四、（10分）求抛物线342-+-=x x y 及其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积. 五、（10分）设)(x f 在[1x ，2x ]上可导，且0＜1x ＜2x ，试证明在（1x ，2x ）内至少存在一点ξ，使)(')()()(211221ξξξf f x x x f x x f x -=--高等数学试题一、 填空题（每小题3分共15分） 1 .2arccos x y = 则=)0(/y _________. 2. 设x e x f arctan )(=,则=)(x df _______________.3:=-⎰dx x 121____________ 4:微分方程3ydy+3x 2dx=0的阶是______________5.当=k________ 时, e xkx x =+∞→)1(lim二、 单选题（每小题3分共15分）1.必为函数f(x)单调区间分界点的是( )A. 使0)(/=x f 的点B. f(x)的间断点C.)(/x f 不存在的点 D.以上都不对2:设f(0)=0且x x f x )lim（→存在，则xx f x )lim 0（→=( )A: f(0) B: f /(x) C: f /(0)D: 03:⎰+∞-=0dx e x ( )A. ―1B. 0C. 1D. 发散 4: 若f(x)的一个原函数是x1, 则=)(/x f ( ) A. 21x -B.32x C. x ln D.x1 5:微分方程y //=xe -的通解为 y=( )A: 21c x c ex++- B: 21c x c e x ++-- C: x e - D: x e --三、 求极限（每小题6分,共42分）1：)3(lim 2x x x x -+∞→ 。

2：x x x2)21(lim -∞→ 3：求π4ln sin 2+-=x xx x y 的dy4：求隐函数方程y 3=xy+2x 2+y 2确定y=y(x)的dx dy 5：⎰dx xx ln 16：dx e x⎰10 7: 设函数y y x =()由参数方程x t y t==-⎧⎨⎪⎩⎪221确定，求d d y x 。

四、微积分应用题(第1，2题各9分，第3题10分，共28分) 1.求y /+y=x 的通解 2.求微分方程065=-'+''y y y 满足初始条件4)0(-=y ，30)0(-='y 的特解．3. 求曲线xy =（0≤ x ≤2） 绕x 轴一周旋转所围成的体积普通高校专升本《高等数学》试卷一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个小题，每一小题3分，共24分）1. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++-=01e 2y t tt x y在 0=t 处的切线方程为 . 2. 已知 )(x f 在 ),(∞+-∞ 内连续 , 1)0(=f , 设 ⎰=2sin d )()(x xt t f x F , 则)0(F '= .3. 设 ∑ 为球面 2222a z y x =++ (0>a ) 的外侧 , 则⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d 333 = .4. 幂级数∑∞=-+-1)1(3)2(n n nn x n 的收敛域为 . 5. 已知 n 阶方阵 A 满足 022=++E A A , 其中E是n阶单位阵,k为任意实数 ， 则1)(--kE A= .6. 已知矩阵 A 相似于矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100011211 , 则 =+*E A .7. 已知 6.0)(,2.0)(==B A P B P , 则 )|(B A P = .8. 设)(x f ξ 是随机变量ξ的概率密度函数 , 则随机变量ξη= 的概率密度函数)(y f η= .二．选择题. （本题共有8个小题，每一小题3分，共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++∞→n n n n n n πππsin 2sin sin 1lim = ( ).(A ) 2 (B ) 21 (C ) 2π (D ) π22. 微分方程0d )2(d )2(=-+-y x y x y x 的通解为 ( ). （C 为任意常数）(A ) C y xy x =++22 (B )C y xy x =+-22(C ) C y xy x =+-2232 (D ) C y xy x =++22323. x x n x x x x n n d e !)1(!3!2!1121032⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+- = ( ) .(A ) 1e - (B ) e(C ) )1(e 313- (D )1e 3-4. 曲面 z y x =+22,422=+y x 与 xOy 面所围成的立体体积为 ( ).(A ) π2 (B ) π4 (C ) π6 (D ) π85. 投篮比赛中,每位投手投篮三次, 至少投中一次则可获奖.某投手第一次投中的概率为 21 ; 若第一次未投中, 第二次投中的概率为 107; 若第一, 第二次均未投中, 第三次投中的概率为109， 则该投手未获奖的概率为 ( ). (A ) 2001 (B ) 2002 (C ) 2003 (D ) 20046． 设 k ααα,,,21 是 k 个 m 维向量 ， 则命题 “ k ααα,,,21 线性无关 ”与命题 （ ） 不等价 。

（A ） 对 01=∑=ki ii c α， 则必有 021====k c c c ；（B ） 在k ααα,,,21 中没有零向量 ；（C ） 对任意一组不全为零的数k c c c ,,21 ， 必有01≠∑=ki ii c α；（D ） 向量组中任意向量都不可由其余向量线性表出 。

7. 已知二维随机变量 ),(ηξ 在三角形区域 x y x ≤≤≤≤0,10 上服从均匀分布, 则其条件概率密度函数 )|(y x f ηξ 是 ( ).(A ).10<<y 时 ,⎩⎨⎧≤≤-=其它 ,01,1)|(|x y y y x f ηξ (B ).10<<y 时 , ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,010 ,11)|(|x y y x f ηξ(C ) 10<<y 时 , ⎩⎨⎧≤≤-=其它 ,010,1)|(|x y y x f ηξ(D )10<<y 时 ,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,01 ,11)|(|x y yy x f ηξ 8. 已知二维随机变量),(ηξ 的概率分布为:{}{}{}{}412,42,41,11,1====-======-==ηξηξηξηξP P P P , 则下面正确的结论是 ( ).(A ) ηξ与 是不相关的 (B ) ηξD D =(C ) ηξ与 是相互独立的(D ) 存在 ),(,∞+-∞∈b a ，使得 {}1=+=ηξb a P三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共9个小题，每小题7分，共63分） 1. 计算xxx x a 11lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→ , (0>a ,1≠a ).2. 设直线L :⎩⎨⎧=---=++0350z y ax b y x 在平面 π 上,而平面 π 与曲面22y x z += 相切于点 )5,2,1(-, 求 a ,b 的值3. 计算x y z z y x yd d d 110114⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ . 4. 设 )(u f 具有二阶导数 , 且 )sin e (y f z x= 满足等式z yzx z x 22222e =∂∂+∂∂ , 若1)0(=f ,1)0(='f , 求 )(u f 的表达式.5. 将函数 2213)(xx xx f -+= 展开成 x 的幂级数.6. 已知矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200120012A ， 且 E BA A B A -=*-**)()(1 , 其中 *A 为 A的伴随矩阵 , 求矩阵 .B7. 已知 A 为 6 阶方阵，且 2),,,(621==βββ A , ),,,,(1632ββββ =B ,),,,,(5216ββββ =C , 求 CB + .8. 已知随机事件 A ,B 满足 41)|(,21)|(,31)(===B A P A B P B P , 定义随机变量⎩⎨⎧-=不发生发生B B ,1 ,1ξ, ⎩⎨⎧-=不发生发生A A ,1 ,1η求 (1) 二维随机变量 ),(ηξ 的联合概率分布 ; (2) }12{≤+ηξP .9. 设随机变量 10021,,,ξξξ 是相互独立的 , 且均在 )20,0( 上服从均匀分布.令 ∑==1001j jξξ , 求{}1100>ξP 的近似值 。