v
h(2 t ) h(2) (2 t ) 2 4.9t 13 .1
取较小的 t 值代入计算
思考：
1、任取某一时刻 t 0， 当△ t 趋近于0时 , 其瞬时速度怎样表示？ 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于
t0 t ) h(t0 ) 2的一边趋近于2时h , (平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. lim t 0 t 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 2、函数f(x)在x0处的瞬时变化率怎样表示？ 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时 y f x 0 x －f x 0 的瞬时速度是 – 13.1m/s. lim lim
1.1 变化率与导数
陈琦
这是我国的某年的人均收入：
时间 x(年)
人均GDP y(美元)
2000 2002 856 1100
2006 2010
研究丰富多彩的变化率问题
平均变化率
瞬时变化率
问题一：气球膨胀率
气球的体积 V（L）与半径 r (dm)之间 的函数关系： 4 3V 3 3 r (V ) V r 4 3
二比 一差解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 f ( 2)和 f (6). 根据导数的定义, 2 4 x ( x ) 7x f (2 x) f (2) x 3 x x y lim (x 3) 3. 所以, f (2) lim x 0 x x 0 同理可得 f (6) 5.
f (x ) f (x ) 2 1 x x 2 1
我们把这个式子称为函数 y f ( x) 从 x1 到 x2 的 平均变化率（average rate of change). 习惯上用 x 表示 x2 x1 ，即x x2 x1 ,类似
的
为
y f ( x2 ) f ( x1) .于是，平均变化率可以表示
h(t) 4.9t 2 6.5t 1 0
t 0
t 0
t 0时, 在 2 t， 2


t 0时, 在 2， 2 t


这段时间内的平均速度
这段时间内的平均速度
v
h(2) h(2 t ) 2 (2 t ) 4.9t 13 .1
f ( x0 )与x的 具体取无关
ห้องสมุดไป่ตู้
导数的几何意义:
（几何画板演示）
函数 f ( x ) 在 x x0 处的导数就是切线的
斜率 k ，即
k lim
f ( x0 Δx) f ( x0 ) x
x 0
f ( x0 )
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原 油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
增加单位体积， 半径的改变量
(1)体积从 0L增加到 1L，半径增加r(1) r(0) 0.6 2(d m)
平均膨胀率 r (1) r (0) 0.62(dm / L) 1 0
(2)体积从 1L增加到 2L，半径增加 r(2) r(1) 0.1 6(d m)
平均膨胀率 r (2) r (1) 0.16(dm / L) 2 1
x 0
x
x 0
x
为了表述方便 , 我们用 h2 t h2 lim 13 .1 t 0 t 表示" 当t 2, t 趋近于 0时, 平均速度 v 趋近于确 定值 13 .1".
导数的定义 : 瞬时变化率与导数是同
一概念的两个名称。
一般的，函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和 5. 它说 三极限 明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
例 2.求f (x) 3x 2 5在x 0处的导数 .
解法一： 一差二比三极限
f (0) 0
f ( x0 )与x0的值有关， f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x 0 x 不x0其导数值一般也 x 不相同 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
y |x x0
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
r (V )
3
3V 4
h(t) 4.9t 2 6.5t 1 0
y f ( x)
体积从1L增加到 2L的 平均膨胀率
在0 t 0.5这段时间 里的平均速度
从x1到x2的
平均变化率
r (2) r (1) 2 1
h(0.5) h(0) v 0.5 0
f (x ) f (x ) 2 1 x x 2 1
问题二：高台跳水
运动员相对于水高度 h(m)与起跳后的 时间 t (s)存在函数关系： h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
(1)在 0 t 0.5这段时间里平均速度：
h(0.5) h(0) v 4.05(m / s) 0.5 0 (2)在 1 t 2这段时间里平均速度： h(2) h(1) v 8.2(m / s) 2 1
y x
.
平均变化率的几何意义
对任意函数 y f ( x) ，做过其上任意两点的割线. 不妨以 f (x) 4.9x2 6.5x 1 0 为例.
（几何画板演示）
研究丰富多彩的变化率问题
平均变化率
瞬时变化率
求t=2s时的瞬时速度，先考察t=2附近的情
况.在t=2附近任取一个时刻 2 t .