变化率与导数【学习目标】（1）理解平均变化率的概念；（2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； （4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率； 【要点梳理】知识点一：平均变化率问题1.变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；2.平均变化率一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --要点诠释：① 本质：如果函数的自变量的“增量”为x ∆,且21x x x ∆=-,相应的函数值的“增量”为y ∆,21()()y f x f x ∆=-,则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆- ② 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.即递增或递减幅度的大小。

对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。

如位移运动中，位移S （m ）从t 1秒到t 2秒的平均变化率即为t 1秒到t 2秒这段时间的平均速度。

高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

3.如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=- ②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-。

要点诠释：1. x ∆是1x 的一个“增量”，可用1x x +∆代替2x ，同样21()()y f x f x ∆=-。

2. x 是一个整体符号，而不是与x 相乘。

3. 求函数平均变化率时注意,x y ，两者都可正、可负，但x 的值不能为零，y 的值可以为零。

若函数()y f x =为常函数，则y =0. 知识点二：导数的概念定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim＝ 要点诠释：① 增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。

0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数。

② 0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数。

即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近。

③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。

如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率。

知识点三：求导数的方法： 求导数值的一般步骤：① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；② 求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆。

也可称为三步法求导数。

【典型例题】类型一：求平均变化率 例1 函数()y f x==在区间[1，1+Δx]内的平均变化率为________。

【解析】 ∵(1)(1)1y f x f ∆=+∆-===(11)1xx x-∆=++∆+∆，∴1(11)1y x x x∆=-∆++∆+∆ 【总结升华】 由于平均变化率是函数值增量与自变量增量之比，所以求函数在给定区间[x 0，x 0+Δx]上的平均变化率问题，就是求00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆的值。

本例的关键是对111x x-+∆+∆进行分子有理化。

举一反三：【变式1】 求函数y=2x 2+5在区间[2，2+Δx]上的平均变化率；并计算当12x ∆=时，平均变化率的值。

【答案】 ∵222(2)(2)2(2)5(225)82()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆+-⋅+=∆+∆∴82yx x∆=+∆∆，函数在区间[2，2+Δx]上的平均变化率为82x +∆。

当12x ∆=时，829yx x∆=+∆=∆，即平均变化率的值为9.【变式2】 （2015春 松山区校级月考）在曲线2y x x =+上取点P （2,6）及邻近点Q ()2,6x y +∆+∆ ，那么yx∆∆ 为（ ） A.2x ∆+ B. 22()x x ∆+∆ C. 5x ∆+ D. 23()x x ∆+∆【答案】 ∵ 26(2)(2)y x x +∆=+∆++∆，∴ 2(2)(2)65y x x x x x∆+∆++∆-==∆+∆∆ 故选C【变式3】已知函数，，分别计算在区间[－3，－1]，[0，5]上函数及的平均变化率． 【答案】函数在[－3，－1]上的平均变化率为在[－3,－1]上的平均变化率为函数在[0，5]上的平均变化率为在[0，5]上的平均变化率为类型二：利用定义求导数值例2 用导数的定义，求函数()y f x x==在x=1处的导数。

【解析】∵(1)(1)11y f x f x∆=+∆-=-+∆111(11)1x x x x -+∆==+∆++∆+∆(11)1x x=++∆+∆ ∴(11)1y x x x∆=∆++∆+∆ ∴01'(1)lim2x y f x ∆→∆==-∆。

【总结升华】 利用定义求函数的导数值，需熟练掌握求导数的步骤和方法，即三步法。

举一反三：【高清课堂：变化率与导数 383113 例1】【变式1】（1）求函数 2()3f x x =在x =1处的导数.（2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．【答案】 (1) 22(1)(1)3(1)363()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆263()63y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆, 0lim(63)6x x ∆→+∆=，即(1)6f '=.所以 函数 2()3f x x =在x =1处的导数为6 .（2） 依照定义，f (x )在1x =-的平均变化率，为两增量之比，需先求2200()()(1)(1)23()y f x x f x x x x x ∆=+∆-=--+∆+-+∆-=∆-∆，再求：23()3y x x x x x∆∆-∆==-∆∆∆，即为f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率。

再由导数定义得： 00(1)lim lim(3)3x x yf x x ∆→∆→∆'-==-∆=∆【变式2】已知函数1y x x=x=4处的导数.【答案】（1）0011(2)(4)(4)44'(4)lim lim x x f x f x f x x∆→∆→-+∆-+∆==∆∆0112)44lim x x x ∆→⎛⎫-- ⎪+∆⎝⎭=∆0limx ∆→=15lim 4(4)16x x ∆→⎛-==- +∆⎝， 【变式3】（2015春 宝鸡校级月考）已知函数()f x 可导，且'(1)1f = ，则0(1)(1)limx f x f x∆→-∆--∆ 等于（ ）A.1B. 1-C.(1)1f =D. (1)1f -= 【答案】 A类型三：实际问题中导数的应用例3. 设一个物体的运动方程是：2021)(at t v t s +=，其中0v 是初速度，时间单位为ｓ， 求：ｔ＝２ｓ时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）。

【解析】a v s t 220+=∴时，瞬时速度是【总结升华】 t =2s 时的瞬时速度就是t =2s 附近平均速度的极限，亦即速度在t =2s 时导数。

举一反三：【变式1】 质点按规律s (t)=at 2+1做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ）。

若质点在t=2 s 时的瞬时速度为8 m / s ，求常数a 的值。

【答案】 ∵Δs=s(2+Δt)―s(2)=a(2+Δt)2+1―a ×22－1=4a Δt+a(Δt)2，∴4sa a t t∆=+∆∆。

∴在t=2 s 时，瞬时速度为0lim4t sa t ∆→∆=∆，即4a=8。

∴a=2。

【变式2】如果一个质点从固定点A 开始运动，关于时间t 的位移函数是3()3s t t =+ 002200000000()()11[()()][]2212s t t s t s t tv t t a t t v t at tv at a t+∆-∆=∆∆+∆++∆-+=∆=++∆求（1）t=4时、物体的位移是s(4); （2）t=4时、物体的速度v(4); （3）t=4时、物体的加速度a(4). 【答案】(1) 3(4)4367s =+=(2) t=4时，332(4)3(43)4812()s t t t t t∆+∆+-+==+∆+∆∆∆ 200limlim 4812()48t t s t t t ∆→∆→∆⎡⎤=+∆+∆=⎣⎦∆ ∴v(4)=48(3) 3322()3(3)33()s t t t t t t t t t∆+∆+-+==+∆+∆∆∆ ∴22200()limlim 33()3t t s v t t t t t t t ∆→∆→∆⎡⎤==+∆+∆=⎣⎦∆ t=4时 ()(4)v v t t v t t∆+∆-==∆∆23(4)234243t t t +∆-⨯=+∆∆ []00limlim 24324t t vt t ∆→∆→∆=+∆=∆∴a (4) = 24【变式3】 枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是a=5×105 m / s 2，枪弹从枪口射出所用的时间为1.6×10―3 s 。

求枪弹射出枪口时的瞬时速度。

【答案】 运动方程为212s at =。

因为 222000111()()222s a t t at at t a t ∆=+∆-=∆+∆， 所以 012s at a t t ∆=+∆∆。

当Δt →0时，0s at t∆→∆。

由题意知，a=5×105 m / s 2，t 0=1.6×10－3 s ， 所以at 0=8×102 m / s=800 m / s即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m / s【巩固练习】 一、选择题1．（2015春 保定校级月考）函数在一点的导数是（ ） A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B.一个函数C.一个常数，不是变数D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率。