f 解： (1) 4 表示该工人工作1h的时候，其生产速 度（即工作效率）为4kg/h，也就是说，如果保持 这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品。
表示该工人上班后工作3h的时候，其生 产速度为3.5kg/h，也就是说，如果保持这一生产 速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食品。
或 y | x x0, 即
f ( x0 )
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 f f ( x0 x) f ( x0 ); f ( x0 x) f ( x0 ) f ; 2. 求平均变化率 x x f lim . 3. 求值 f ( x0 ) x0 x
h(t0 t ) h(t0 ) lim t 0 t 2 4.9(t ) (9.8t0 6.5)t lim t 0 t lim (4.9t 9.8t0 6.5)
t 0
9.8t0 6.5
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
2
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
h v t h(2 t ) h(2) 13.1 4.9t t
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
f 解： (10) 1.5 表示服药后10min时，血液中药物 的质量浓度上升的速度为1.5μ g/（mL· min）。 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min， 血液中药物的质量浓度将上升1.5μ g/（mL· min）。
表示服药后100min时，血液中药物的 质量浓度下降的速度为－0.6μ g/（mL· min）。 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液 中药物的质量浓度将下降－0.6μ g/（mL· min）。
……
……
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

h v 13.1 4.9t t 当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2
的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 时速度是 –13.1.
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段 时间内
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051 当△t = – 0.001时, v 13.0951
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时, v 13.149 当△t =0.001时, v 13.1049
（
m
f ( 2 x ) f ( 2) 3( 2 x ) 3 2 3x 3 x x x 3
/s）.
当x趋于2，即Δx趋于0时，平均变化率趋于3，
所以
f (2) 3 （ m /s）.
3
导数 f (表示当x=2s时水流的瞬时变化率，即水 2) 流的瞬时速度。也就是如果水管的中的水以x=2s时 的瞬时速度流动的话，每经过1s，水管中流过的水 3 量为3 m。 例2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作， 生产的食品量y（单位：kg）是其工作时间x （单位：h）的函数 y f (x)。假设函数 y f (x) 在x=1和x=3处的导数分别为 f (1) 4 和 f (3) 3.5 ，试解释它们的实际意义。
一差、二化、三极限
例1、一条水管中流过的水量y（单位： m ）是时 间x（单位：s）的函数 y f ( x) 3x 。求函数
3
y f (x) 在x=2处的导数 f (2) ，并解释它的
实际意义。 解：当x从2变到2＋Δx时，函数值从3×2变到3（2 ＋Δx），函数值y关于x的平均变化率为
导数的概念
• 在高台跳水运动中,平均速度不一定能反映运
动员在某一时刻的运动状态，需要用瞬时速 度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的 速度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t ) 4.9t 6.5t 10
例3、服药后，人体血液中药物的质量浓度y （单位：μ g/mL）是时间t（单位：min）的函数 y f (t )，假设函数 y f (t ) 在t=10和t=100处的 导数分别为 f (100) 0.6 和 f (10) 1.5
f (3) 3.5
，试解释它们的实际意义。
(1). f ( x0 )与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同; f ( x0 )与x的具体取值无关。
(2).瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f lim lim x 0 x 0 x x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
北师大版高中数学选修2-2第二章 《变化率与导数》
一、教学目标：1、知识与技能：通过大量的实例的 分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程， 了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。 2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、 比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、 以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。3、 情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内 涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生 学习数学的兴趣. 二、教学重点：了解导数的概念及求导数的方法。 教学难点：理解导数概念的本质内涵 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
△t
当△t = –0.0001时, v 13.09951 当△t =0.0001时, v 13.10049
△t △t
= – 0.00001, v 13.099951
= 0.00001, v 13.100049
= – 0.000001, v 13.0999951 △t =0.000001, v 13.1000049
f (100) 0.6
课堂练习:1、
2、课本
P33
练习：1、2.
小结：1、瞬时速度的变化率的概念； 2、导数的概念； 3、利用导数的定义求函数的导数的方法步 骤：
1、求函数的变化率 y f ( x0 x ) f ( x0 ) y 2、求函数的平均变化率 x y 3、求极限 lim x0 0 x
v
就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬
h(2 t ) h(2) lim 13.1 t 0 t
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 v 趋近于确定值– 13.1”.
探 究:
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
作业：课本 P37 习题2-2中A组2、3
五、教后反思：
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f lim lim x 0 x 0 x x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
f ( x0 )
y | x x0, 即 f ( x0 ) lim f ( x0 Δx) f ( x0 ) . 或 x 0 x