（续）
平面波的复振幅（三维空间）：
U ( x, y, z ) a exp( jk r ) a exp[ jk ( x cos y cos z cos )]
常量振幅 线性位相因子
平面波的复振幅 (在与原点相距为 z 的平面上):
U ( x, y) A exp[jk ( x cos y cos )]

U ( x, y, z )


A( f
x
, f y , z ) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dfx df y
即: 把U(x,y,z)看作不同空间频率的一系列基元函数exp[j2(fxx+fyy)] 之和, 各分量的叠加权重是A(fx, fy,z). 物理上, exp[j2(fxx+fyy)] 代表传播方向余弦为cos=lfx, cos=lfy 的单色平面波在xy平面的复振幅分布, U(x,y,z)是不同平面波分量分 布的线性叠加.每个分量的相对振幅和初位相由频谱A(fx, fy,z)决定.
cos cos A cos cos A( , ) f0 f 0 l l 2 l l
复振幅分布的角谱 练习: P47, 2.2
第一步: 写出屏的透过率函数 t(x,y): 第二步: 写出入射波的复振幅分布U0(x,y ,0)
fz ( 1 l fx l f y ) l
这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为 : U ( x, y, z ) a exp[ j ( xf x yf y )]exp( j z l f x l f y )
U ( x, y,) exp( j

单位振幅的单色平面波垂直入射照明, U0(x,y,0)=1 第三步: 写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分布U (x,y , 0) U (x,y, 0)=U0(x,y, 0) t(x,y)= t(x,y)
第四步: 求出U(x,y,0)的频谱A(fx, fy,0) cos cos f ; f 第五步: 利用 x 将 A(fx, fy, 0)改写成角谱 y l l
l
l

l
l
cos cos A( , , z)
l
l
称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不 同传播方向(,)的单色平面波的振幅(|A|) 和初位相(arg{A})
角谱是xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其空 间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
复振幅分布的角谱： 例
在x-y平面上, 光场复 振幅分布为余弦型: 可以分解为:
光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
要与光的时间频率严格区分开 空间是有形的, 比时间更具体,更直观. 空间频率的单位: cm-1, mm-1, 周/mm, 条数/mm 等 空间频率的正负:表示传播方向与x(或y)轴的夹角小于或大于90 在给定的座标系, 任意单色平面波有一组对应的fx和fy, 它仅决定于光波的波长和传播方向. 反之, 给定一组fx和fy, 对于给定波长的单色平面波就能 确定其传播方向cos =l fx , cos =lfy 二维F.T.在光学上的意义: 在xy 平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的周期 分布,即复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加.
g ( x, y) G( f x, f y ) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dfx df y


光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
三个空间频率不能相互独立： l2 因此
2 2 2
fx l fy l fz 1
2 2 2 2 2
2
U ( x, y) A cos(2f 0 x)
A U ( x, y ) U ( x) [exp( j 2f 0 x) exp( j 2f 0 x)] 2
U(x,y)的空间频谱函数:
A A( f x , f y ) { A cos( 2f 0 x)} [ ( f x f 0 ) ( f x f 0 )] 2 U(x,y)的空间角谱函数: cos cos A( , ) A( f x , f y ) cos cos fx , fy l l l l
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
1、复振幅分布的角谱
根据
l l 可将频谱函数A(fx, fy,z)用表示各平面波传播方向的角度为宗量：
Hale Waihona Puke fx cos ;
fy
cos
cos cos cos cos A( , , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( x y)]dxdy
l
l
z l fx l f y )



在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
1、复振幅分布的角谱
作业： P47: 2.1, 2.3
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
2、平面波角谱的传播 Propagation of Plane-Wave Angular Spectrum
孔径平面（ z =0） P(x,y,0)
光场分布 U0(x,y,0) 观察平面（ z =z） P(x,y,z) 光场分布 U (x,y,z)
Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution
对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换: 称为x-y平面 A( f x , f y , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy 上复振幅分 布的频谱 其逆变换为：