• fx cos/ fy cos/ 与平面波的传播方向相 联系 ,表示了单色平面波的传播方向
傅里叶反变换的物理意义

f(x ,y)F (fx,fy)e x p [j2(fxx fyy)]d fx d fy
• F( fx , f y ) 被称为 f ( x , y ) 光场分布的角谱。
A ( c o s,c o s) A 0 ( c o s,c o s) e x p j k z 1 c o s 2 c o s 2
几种情况讨论（3）
• cos2cos21 ，在此情况下，该 波动分量的传播方向垂直于z轴，它 在z轴方向的净能流量为零。
几种情况讨论（2）
• cos2cos21 公式中的平方根是虚数 A (c o s ,c o s) A 0 (c o s ,c o s)e x p ( z )
式中 k cos2cos21 为实数。角谱将 随z的增大而按指数衰减，在几个波长的距 离内几乎衰减为0，对应于这些传播方向波 动分量称为倏逝波，在通常情况下均略而不 计
• 任一平面光波场可以看成无数 组传播方向不同、幅值不同的平 面波叠加而成，在叠加时各平面 波有自己的振幅和相位，它们的 值分别为角谱的模和幅角
复振幅分布的角谱
• 如果把相干光场在自由空间两平面间的传播 看作是通过一个二维线性空不变系统，则单色 平面波在该输入平面上形成的分布即为该系统 的本征函数。
d d z 2 2 A ( c o s,c o s) k 2 ( 1 c o s 2 c o s 2) A ( c o s,c o s) 0
角谱之间的关系
• 解微分方程，得到方程的一个基本解是
A ( c o s,c o s) c ( c o s,c o s) e x p j k z 1 c o s 2 c o s 2
U ( x ,y ) A ( c o s,c o s) e x p j 2 ( c o sx c o sy ) d ( c o s) d ( c o s)
假如我们能够找到
cos cos A0( , )
• 这些平面波分量在空间传播一定距离z仅仅 是引人了一定的相位移动，而振幅不发生 变化．这与平面的性质相一致，平面在空 间传播既不会改变方向，也不会改变振幅
A ( c o s,c o s) A 0 ( c o s,c o s) e x p j k z 1 c o s 2 c o s 2
• 上式物理意义：通过z＝0平面上光场的角谱 就可以求出观察面上的角谱。然后通过博里 叶逆变换求出观察面上的复振幅分布。
• 上式具有和基尔霍夫衍射公式同等的价值。
几种情况讨论（1）
• 当传播方向余弦 cos,cos 满足 cos2cos21 时，角谱关系式才真正对应于空间某一确 定方向传播的平面波。
• 单色平面波与本征函数之间的这种联系不是 偶然的。单色平面波在自由空间中传播一段距 离后，只是相位改变一定数值，而无其它变化， 即相当于乘上一个复常数，这恰好就是本征函 数的表达式。
复振幅分布的角谱
• 由函数 f ( x , y ) 的傅里叶变换关系式有

F (fx,fy) f(x ,y )e x p j2( fyy ) d x d y F( fx , fy ) 为光波场的角谱
和 A(cos,cos) 之间的关系，就知

道了每一平面波分量在传播过
程中振幅和相位发生的变化，
自然也就可以确定整个光场由
孔径平面传播到观察平面所发
生的变化。
角谱之间的关系
• 角谱传播规律的基础仍然是标量波动方程
2uv12
2 t2
u 0
•
A(cos , cos)
所满足的波动方程为
• c(cos , cos )
由边界条件确定。在z=0处即为
孔径平面
，角谱是
A0(cos
,
cos，) 因此

c(co s,co s)A 0(co s,co s)
角谱之间的关系
A ( c o s,c o s) A 0 ( c o s,c o s) e x p j k z 1 c o s 2 c o s 2
§2.3 衍射的角谱理论
• 由标量衍射理论知，相干光场在给定二平面间 的传播过程就是通过一个二维线性系统 （除夫 琅和费衍射外）；一定条件下为线性空不变系统。
• 函数 expj2(fxx+fyy) 是二维线性空不变系统的本 征函数
• 函数 expj2(fxxfyy)表示振幅为1的平面波在xy 平面上形成的复振幅分布
复振幅分布的角谱
• 孔径平面(x0, y0)的场分布为 U0 (x0 , y0 ) ， 观察平面上的场分布为 U ( x, y ) ，则它们
相应的角谱相应为 和 cos cos A0( , )
A(cos , cos)
U 0 ( x 0 ,y 0 ) A 0 ( c o s,c o s) e x p j 2 ( c o sx 0 c o sy 0 ) d ( c o s) d ( c o s)
• F( fx , f y ) 用方向余弦表示
F ( c o s,c o s) f( c o s,c o s) e x p j 2 ( c o sx c o sy ) d x d y
平面波角谱的传播
• 孔径平面和观察平面上的光场分布都可以分别看 成是许多不同方向传播的单色平面被分量的线性 组合。每一平面被分量的相对振幅和相位取决于 相应的角谱。