练习4 反比例函数一．选择题1．已知反比例函数2y x=-，则该反比例函数的图象经过哪几个象限( )A ．一、二象限B ．一、三象限C ．二、三象限D ．二、四象限【解答】解：反比例函数2y x=-中20k =-<，∴图象位于二、四象限，故选：D ．2．已知点(4,)A m -，1(2B -，)n 都在反比例函数2y x =的图象上，则m 与n 的大小关系是( )A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．不能确定【解答】解：20k =>，∴函数的图象在一、三象限，根据函数性质，函数在一、三象限y 随x 的增大而减小， 142-<-，m n ∴>，故选：A ．3．若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(2,5)-，则这个函数的图象一定经过点( )A ．(5,1)-B ．1(5-，2)C ．(2,5)--D ．1(2，20)-【解答】解：把(2,5)-代入k y x =得：52k =-， 解得：10k =-， 即10y x=-， A ．把(5,1)-代入10y x =-得：左边≠右边，即一次函数10y x=-的图象不经过点(5,1)-，故本选项不符合题意；B ．把1(5-，2)代入10y x =-得：左边≠右边，即一次函数10y x=-的图象不经过点1(5-，2)，故本选项不符合题意；C ．把(2,5)--代入10y x =-得：左边≠右边，即一次函数10y x=-的图象不经过点(2,5)--，故本选项不符合题意；D ．把1(2，20)-代入10y x =-得：左边≠右边，即一次函数10y x =-的图象经过点1(2，20)-，故本选项符合题意； 故选：D ． 二．填空题4．如图，一次函数36y x =-+与反比例函数(0)ky k x=>交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作x 轴、y轴的平行线交于点C ，连结OC 交AB 于点D ．当ADO ∆是BDC ∆面积的2倍时，则k 的值是 ．【解答】解：过A 点作//AH y 轴交OC 于点H ，CB 与x 轴交点为M ， //AC x 轴，//BC y 轴，∴四边形OACM 是矩形，设A 、B 两点横坐标为a 、b ，一次函数36y x =+与反比例函数(0)ky k x =>交于A ，B 两点，36A k y a a ∴==-+，36B ky b b==-+， C ∴的坐标为(,)kb a，k BM b ∴=，k k BC CM BM a b =-=-，直线OC 的解析式为k y x ab=， //AH y 轴交OC 于点H ，H A x x a ∴==，H H k k y x ab b==， 又直线OC 与直线AB 交于D 点，∴6y ky x ab ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，即(6k x ab =，6D x kab∴=+，116()22AOD D k k S AHx k a b ab ∆∴==-⨯，116()()()22BDC B D k k S BC x x b k a b ab∆=-=--+， ADO ∆是BDC ∆面积的2倍，∴16()2216()()2ADO BDCk k k a b S ab kk S b k a b ab∆-⨯==-⨯-+，∴62(6kb ab=⨯-，(9k bab ∴=，即9ka+=， 又6ka=+，)3b a -=，b a -= 6kb=-，则69kk a b +-=，()3k b a ab-=，3ab k b a ∴==-，又6A ky a==+，∴6=+)6a b +=， a b ∴+=联立323 b aa b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得32332ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3339333224k ab∴==⨯⨯=，故答案为934．5．如图，双曲线(0)ky xx=>经过A，B两点，过点A作AC y⊥轴于点C，过点B作BD y⊥轴于点D，作BE x⊥于点E，连接AD，如果2AC BE==，16BEODS=四边形，那么ACD∆的面积：ACDS∆=．【解答】解：BE x⊥轴于E，BD y⊥轴于D，16BEODS k∴==矩形，而0k<，16k∴=，∴反比例函数的解析式为16yx=，AC y⊥轴，2AC=，A∴点的横坐标为2，当2x =时，1682y ==， 826CD OC OD ∴=-=-=， 12662ACD S ∆∴=⨯⨯=．故答案为6．6．如图，函数(0)ky k x =>在第一象限内的图象绕坐标原点O 顺时针旋转60︒后，和过点(23A ，2)，(1,3)B -的直线相交于点M 、N ，若OMN ∆的面积是23，则k 的值为 ．【解答】解：连接OA ，OB ，过A 作AE y ⊥轴于E ，过B 作BF y ⊥轴于F ， 点(23A ，2)，(1,3)B -， 2OE ∴=，23AE =22222(23)4OA OE AE ∴++=，30EAO ∠=︒， 60AOE ∴∠=︒，同理得：2OB =，30BOF ∠=︒， 90AOB ∴∠=︒， OA OB ∴⊥，函数(0)ky k x=>在第一象限内的图象绕坐标原点O 顺时针旋转60︒，∴建立新的坐标系：OB 为x '轴，OA 为y '轴，则旋转后的函数解析式为：k y x'='，在新的坐标系中，(0,4)A ，((2,0)B ， 设直线AB 的解析式为：y mx n ''=+， 则420n m n =⎧⎨+=⎩，解得24m n =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为：24y x ''=-+，设1(M x ，124)x -+，2(N x ，224)x -+， 由24kx x '-+='得：2240x x k ''-+=， 122x x ∴+=，122k x x =， 121112442(24)23222OMN AOB AOM BON S S S S x x ∆∆∆∆=--=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-+=，1242243x x ∴-+-= 123x x ∴-=-212()3x x ∴-=，22112223x x x x ∴-+=，21212()43x x x x ∴+-=， 4432k∴-⨯=， 12k ∴=；故答案为：12． 三．解答题7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2(0)k y x x=>的图象交于(,1)A m m +，(2,6)B 两点．（1）求m 的值；（2）求一次函数的表达式；（3）当一次函数1y k x b =+的值小于反比例函数2(0)k y x x=>的值时，求出自变量x 的取值范围．【解答】解：（1）把(2,6)B 代入2(0)k y x x=>得22612k =⨯=， 所以反比例函数解析式为12(0)y x x=>， 把(,1)A m m +代入12y x=得(1)12m m +=，解得13m =，4m =-， 0x >， 3m ∴=；（2）把(3,4)A ，(2,6)B 代入1y k x b =+得113426k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1210k b =-⎧⎨=⎩，所以一次函数解析式为210y x =-+；（3）当一次函数1y k x b =+的值小于反比例函数2(0)k y x x=>的值时，自变量x 的取值范围是02x <<或3x >．8．如图，一次函数1y ax b =+与反比例函数2ky x=的图象相交于(2,8)A ，(8,2)B 两点，连接AO ，BO ，延长AO 交反比例函数图象于点C ．（1）求一次函数1y 的表达式与反比例函数2y 的表达式； （2）当12y y <，时，直接写出自变量x 的取值范围为 ；（3）点P 是x 轴上一点，当45PAC AOB S S ∆∆=时，请直接写出点P 的坐标为 ．【解答】解：（1）将(2,8)A ，(8,2)B 代入y ax b =+得2882a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得110a b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数为10y x =-+，将(2,8)A 代入2k y x =得82k=，解得16k =， ∴反比例函数的解析式为16y x=；（2）由图象可知，当12y y <时，自变量x 的取值范围为：8x >或02x <<， 故答案为8x >或02x <<；（3）由题意可知OA OC =， 2APC AOP S S ∆∆∴=，把0y =代入110y x =-+得，010x =-+，解得10x =， (10,0)D ∴，111081023022AOB AOD BOD S S S ∆∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=，44302455PAC AOB S S ∆∆==⨯=，224AOP S ∆∴=，12242A OP y ∴⨯⨯=，即128242OP ⨯⨯=，3OP ∴=，(3,0)P ∴或(3,0)P -，故答案为(3,0)P 或(3,0)P -．9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x b =+的图象经过点(0,2)C ，与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点(1,)A a ．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M 是反比例函数(0)ky x x=>图象上一点，N 是直线AB 上一点，若以点O 、M 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标．【解答】解：（1）点(0,2)C 在直线y x b =+上， 2b ∴=，∴一次函数的表达式为2y x =+；点(1,)A a 在直线2y x =+上，3a ∴=，∴点(1,3)A ，点(1,3)A 在反比例函数(0)ky x x =>的图象上，133k ∴=⨯=，∴反比例函数的表达式为3y x=；（2）由（1）知，直线AB 的表达式为2y x =+，反比例函数的表达式为3y x=， 设点3(,)M m m，(,2)N n n +，若以点O 、M 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形， 则①以OC 和MN 为对角线时， ∴02m n +=，322022n m +++=，m ∴，n =m =M 不在第一象限，舍去），n(N ∴，2)，②以CN 和OM 为对角线时， ∴0022n m ++=，302222n m +++=，2m n ∴==-+或2m n ==-M 不在第一象限，舍去），(2N ∴-+，③以CM 和ON 为对角线时， ∴0022m n ++=，320222n m +++=，m n ∴=m n ==（此时，点M 不在第一象限，舍去），N ∴2，即满足条件的点N的坐标为(2)或(2-或2+．1．如图，在平面直角坐标系中，函数3(0)y x x =>与1y x =-的图象交于点(,)P a b ，则代数式11a b -的值为( )A ．14-B ．14C ．13-D ．13【解答】由题意得，函数3(0)y x x=>与1y x =-的图象交于点(,)P a b ， 3ab ∴=，1b a =-，∴1113b a a b ab --==-； 故选：C ．2．如图，已知函数3y x =+的图象与函数(0)k y k x=≠的图象交于A 、B 两点，连接BO 并延长交函数(0)k y k x=≠的图象于点C ，连接AC ，若ABC ∆的面积为12，则k 的值为 ．【解答】解：如图，连接OA ．由题意，可得OB OC =，162OAB OAC ABC S S S ∆∆∆∴===． 设直线3y x =+与y 轴交于点D ，则(0,3)D ， 设(,3)A a a +，(,3)B b b +，则(,3)C b b ---，13()62OAB S a b ∆∴=⨯⨯-=， 4a b ∴-=①．过A 点作AM x ⊥轴于点M ，过C 点作CN x ⊥轴于点N ， 则12OAM OCN S S k ∆∆==， 6OAC OAM OCN AMNC AMNC S S S S S ∆∆∆∴=+-==梯形梯形， ∴1(33)()62b a b a --++--=， 将①代入，得3a b ∴--=②，①+②，得27b -=，72b =-， ①-②，得21a =，12a =， 1(2A ∴，7)2， 177224k ∴=⨯=． 故答案为74． 3．反比例函数(0,0)k y k x x=≠>的图象与直线3y x =相交于点C ，过直线上点(1,3)A 作AB x ⊥轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且3AB BD =．（1）求k 的值；（2）在y轴上确定一点M，使点M到A，B两点距离之和d MA MB=+最小，求点M的坐标．【解答】解：（1）(1,3)A，AB x⊥轴，3AB∴=，1OB=，3AB BD=，1BD∴=，(1,1)D∴，将D坐标代入反比例解析式得：1k=；（2）作点(1,0)B关于y轴的对称点(1,0)E-，连接AE交y轴于点M，则点M为所求点，理由：d MA MB MA ME AE=+=+=为最小，设直线AE的表达式为y mx b=+，则3m bm b=+⎧⎨=-+⎩，解得3232mb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故AE的表达式为3322y x=+，当0x=时，32y=，故点M的坐标为3 (0,)2．4．如图，点(,4)A m，(,2)B n在反比例函数kyx=的图象上，AD x⊥轴于点D，BC x⊥轴于点C，3DC=．（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；（2）连接AB，已知在线段DC上存在一E点，使ABE∆的面积等于5，请求出点E的坐标．（3）设P 是x 轴上的一个动点，是否存在点P 使得的ABP ∆的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）点(,4)A m ，(,2)B n 在反比例函数k y x=的图象上， 42k m n ∴==， 即2n m =，3DC =，3n m ∴-=，3m ∴=，6n =，∴点(3,4)A ，点(6,2)B ，3412k ∴=⨯=，∴反比例函数的表达式为12y x=； （2）设点(,0)E x ，3DE x ∴=-，6CE x =-，4AD =，2BC =，()()11163436295222ABE ADE BCE ABCD S S S S x x x ∆∆∆=--=⨯⨯-⨯---⨯=-+=四边形， 4x ∴=，∴点(4,0)E ；（3）ABP ∆的周长AB AP BP =++， 又AB 是定值，∴当AP BP +的值最小是，ABP ∆的周长最小， 如图，作点B 关于x 轴的对称点(6,2)F -，连接AF 交x 轴于点P ，此时PA PB +有最小值，设直线AF 的解析式为y kx b =+， 4326k b k b =+⎧⎨-=+⎩， 解得210k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AF 的解析式为210y x =-+， 当0y =时，5x =， ∴点(5,0)P ．。