北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷 高一数学 2015.1 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 A卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分

题号 一 二 三 本卷总分 17 18 19

分数

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1．已知(0,2π)，且sin0，cos0，则角的取值范围是（ ） （A）π(0,)2 （B）π(,π)2 （C）3π(π,)2 （D）3π(,2π)2 2．已知向量(2,8)a，(4,2)b．若2cab，则向量c（ ） （A）(0,18) （B）(8,14) （C）(12,12) （D）(4,20) 3．已知角的终边经过点(3,4)P，那么sin（ ） （A）35 （B）45 （C）34 （D）34 4．在△ABC中，D是BC的中点，则AD（ ） （A）1()2ABAC （B）1()2ABAC （C）1()2ABBC （D）1()2ABBC 5．函数2(sincos)yxx的最小正周期为（ ） （A）2 （B）3π2 （C） （D）π2 6．如果函数cos()yx的一个零点是3，那么可以是（ ） （A）6 （B）6 （C）3 （D）3 7．如图，在矩形ABCD中，2AB，3BC， E是CD 的中点，那么AEDC（ ） （A）4 （B）2 （C）3 （D）1 8．当[0,π]x时，函数()cos3sinfxxx的值域是（ ） （A）[2,1] （B）[1,2] （C）[1,1] （D）[2,3]

9．为得到函数πcos()6yx的图象，只需将函数sinyx的图象（ ） （A）向左平移π3个单位 （B）向右平移π3个单位 （C）向左平移2π3个单位 （D）向右平移2π3个单位 10．已知a，b为单位向量，且mab，则||tab()tR的最小值为（ ） （A）21m （B）1 （C）||m （D）21m

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11．若向量(1,2)a与向量(,1)b共线，则实数_____．

12．已知是第二象限的角，且5sin13，则cos_____． 13．若(,)22，且tan1，则的取值范围是_____．

14．已知向量(1,3)a，(2,1)b，(1,1)c．若(,)Rca+b，则_____． 15．函数2()sinsincosfxxxx的最大值是_____． 16．关于函数()sin(2)()6fxxxR，给出下列三个结论： ① 对于任意的xR，都有2()cos(2)3fxx； ② 对于任意的xR，都有()()22fxfx； ③ 对于任意的xR，都有()()33fxfx． 其中，全部正确结论的序号是_____． 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知tan2，其中(,)2． （Ⅰ）求πtan()4的值； （Ⅱ）求sin2的值．

18．（本小题满分14分） 已知向量(cos,sin)a，13(,)22b，其中是锐角． （Ⅰ）当30时，求||ab； （Ⅱ）证明：向量ab与ab垂直；

（Ⅲ）若向量a与b夹角为60，求角．

19．（本小题满分10分） 已知函数()sincosfxaxbx，其中aZ，bZ．设集合{|()0}Axfx，{|(())0}Bxffx，且AB．

（Ⅰ）证明：0b； （Ⅱ）求a的最大值． B卷 [学期综合] 本卷满分：50分 一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．已知集合{,}Aab，则满足{,,}ABabc的不同集合B的个数是_____．

2．若幂函数yx的图象过点(4,2)，则_____． 3．函数2lg,0,()4,0,xxfxxx的零点是_____． 4．设()fx是定义在R上的偶函数，且()fx在[0,)上是减函数．若()(2)fmf，则 实数m的取值范围是_____． 5．已知函数()fx的定义域为D．若对于任意的1xD，存在唯一的2xD，使得

12()()fxfxM成立，则称函数()fx在D上的几何平均数为M．已知函数

()31([0,1])gxxx，则()gx在区间[0,1]上的几何平均数为_____．

二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）

已知函数()(2)()fxxxa，其中aR．

（Ⅰ）若()fx的图象关于直线1x对称，求a的值； （Ⅱ）求()fx在区间[0,1]上的最小值．

7．（本小题满分10分） 已知函数()23xxfxab，其中,ab为常数．

题号 一 二 本卷总分 6 7 8

分数 （Ⅰ）若0ab，判断()fx的单调性，并加以证明； （Ⅱ）若0ab，解不等式：(1)()fxfx．

8．（本小题满分10分） 定义在R上的函数()fx同时满足下列两个条件：

① 对任意xR，有(2)()2fxfx；② 对任意xR，有(3)()3fxfx． 设()()gxfxx． （Ⅰ）证明：(3)()(2)gxgxgx； （Ⅱ）若(4)5f，求(2014)f的值．

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷 高一数学参考答案及评分标准 2015.1

A卷 [必修 模块4] 满分100分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1.D； 2.B； 3.B； 4.A； 5.C； 6.A； 7.B； 8.A； 9.C； 10.D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.12； 12.1213； 13. (,)42； 14. 32； 15.122； 16. ① ② ③. 注：16题，少解不给分. 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：因为 tan2，

所以 πtantanπ4tan()π41tantan4 【 3分】 3. 【 6分】

（Ⅱ）解：由π(,π)2，tan2，

得 2sin5， 【 8分】 1cos5. 【10分】 所以 4sin22sincos5. 【12分】

18.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：当30时，31(,)22a， 【 1分】

所以 3131(,)22ab=， 【 2分】 所以 223131||()()222ab=． 【 4分】 （Ⅱ）证明：由向量(cossin)，a，13(,)22b， 得 13(cos,sin)22ab，13(cos,sin)22ab， 由 π(0,)2，得向量ab，ab均为非零向量. 【 5分】 因为 222213()()||||(sincos)()044ababab， 【 7分】 所以向量ab与ab垂直. 【 8分】 （Ⅲ）解：因为||||1ab，且向量a与b夹角为60，

所以 1||||cos602abab. 【10分】

所以 131cossin222， 即 π1sin()62. 【12分】 因为 π02， 所以 πππ663， 【13分】 所以 ππ66， 即3. 【14分】

19.（本小题满分10分） （Ⅰ）证明：显然集合A． 设 0xA，则0()0fx． 【 1分】 因为 AB， 所以 0xB， 即 0(())0ffx， 所以 (0)0f， 【 3分】 所以 0b． 【 4分】 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sinfxax，aZ． ① 当0a时，显然满足AB． 【 5分】 ② 当0a时，此时{|sin0}Axax； {|sin(sin)0}Bxaax， 即{|sin,}BxaxkkZ． 【 6分】

因为 AB， 所以对于任意xR，必有sinaxk (kZ，且0)k成立． 【 7分】

所以对于任意xR，sinkxa，所以 1ka， 【 8分】 即 ||||ak，其中kZ，且0k． 所以 ||a， 【 9分】 所以整数a的最大值是3． 【10分】

B卷 [学期综合] 满分50分 一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1. 4； 2. 12； 3. 2，1； 4. (2,2)； 5. 2. 注：3题，少解得2分，有错解不给分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分） （Ⅰ）解法一：因为2()(2)()(2)2fxxxaxaxa， 所以，()fx的图象的对称轴方程为22ax. 【 2分】 由212a，得0a. 【 4分】 解法二：因为函数()fx的图象关于直线1x对称， 所以必有(0)(2)ff成立， 【 2分】 所以 20a， 得0a. 【 4分】 （Ⅱ）解：函数()fx的图象的对称轴方程为22ax. ① 当202a，即 2a时， 因为()fx在区间(0,1)上单调递增， 所以()fx在区间[0,1]上的最小值为(0)2fa. 【 6分】 ② 当2012a，即 02a时， 因为()fx在区间2(0,)2a上单调递减，在区间2(,1)2a上单调递增， 所以()fx在区间[0,1]上的最小值为222()()22aaf. 【 8分】 ③ 当212a，即 0a时，