数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题(每小题5分，共60分)1．已知集合{}2,3,4,6A =，{}1,2,3,4,5B =，则A ∩B=（ ） A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}2,3D ．{}2,3,42．计算1294⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A ．32B ．8116C ．98D ．233．函数y = ） A ．[1,]-+∞B ．[]1,0-C ．()1,-+∞D ．()1,0-4．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为（ ） A ．163π B ．323π C ．643π D ．2563π 5．函数3()21xf x x=--的零点所在的区间为（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．() 4,56．下列函数中，是偶函数的是（ ） A ．3y x =B ．||=2x yC ．lg y x =-D ．x x y e e -=-7．函数()23x f x a -=+恒过定点P （ ）A ．()0,1B ．()2,1C ．()2,3D ．()2,48．已知圆柱的高等于1，侧面积等于4π，则这个圆柱的体积等于（ ） A ．4π B ．3π C ．2πD ．π9．设20.920.9,2,log 0.9a b c ===，则( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>10．某几何体的三视图如图所示(单位：cm ) ，则该几何体的表面积(单位：cm 2)是( )A ．16B ．32C ．44D ．6411．2ln 32f x x x 的递增区间是（ ）A ．(),1-∞B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．()2,+∞12．已知(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(0,)4B ．(0,)+∞C ．()1,3D ．()0,1第II 卷（非选择题)二、填空题（每小题5分，共20分）13．集合{}1,0,1-的子集有_____________个.（用数字作答） 14．已知()221030x x f x x x -≥⎧=⎨⎩，，＜，则f （f （﹣1））的值为_____．15．如图所示为水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________.16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()1f x x =+，则()2f -=__________.三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．已知全集U =R ，集合{}42A x x =-≤≤-，集合{}30B x x =+≥， 求：（1）AB ；（2）()U C A B ．18．计算下列各式的值：（Ⅰ)322log 3lg25lg4log (log 16)++- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+19．在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB ，CD ，EF 相互平行，四边形ABEF 是梯形．已知CD ＝EF ，AD ⊥平面ABEF ，BE ⊥AF ．（1）求证：DF ∥平面BCE ； （2）求证：平面ADF ⊥平面BCE ．20．已知对数函数()log (0,1)a f x x a a =>≠的图象经过点（9,2）. (1)求函数()f x 的解析式；（2）如果不等式(1)1f x +<成立，求实数x 的取值范围．21．在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ． （2）求证：BC SA ⊥．22．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明数学期考参考答案 1．D 【解析】 【分析】直接利用交集的定义计算即可. 【详解】因为{}2,3,4,6A =，{}1,2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B =.故选:D. 【点睛】本题考查了集合交集的计算，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】现将94化成232⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后再根据指数幂的运算公式即可求出结果. 【详解】11222933==422⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查指数幂的运算公式，熟练掌握运算公式是解决问题的关键. 3．C 【解析】 【分析】函数y =10x +>，解不等式即可得定义域. 【详解】 由函数y =1010x x +≥⎧⎨+≠⎩，解得1x >-， 即函数y =()1,-+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式被开方数非负，分式分母不为0，考查运算能力，属于基础题． 4．B 【解析】 【分析】先求球半径，再求球体积. 【详解】因为24π=16πR ，所以34322,ππ33R V R ===,选B. 【点睛】本题考查球表面积与体积，考查基本求解能力，属基础题. 5．A 【解析】 【分析】连续函数f （x ）＝32xx--1在（0，+∞）上单调递增且f （1）f （2）＜0，根据函数的零点的判定定理可求结果．∵函数f （x ）＝32xx--1在定义域（0，+∞）上单调递增， ∴f （1）＜0，f （2）＞0，f （3）>0，f （4）＞0，f （5）＞0， ∴根据根的存在性定理得f （x ）＝32xx--1的零点所在的一个区间是（1，2）， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数零点定义及判定的应用，属于基础试题． 6．B 【解析】 【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，3y x =为奇函数；对于B 选项，令()2xf x =，函数()f x 的定义域为R ，()()2xf x f x -==，故函数为偶函数，符合题意；对于C 选项，函数的定义域为()0,∞+，故函数为非奇非偶函数； 对于D 选项，令()xxf x e e -=-，函数()f x 的定义域为R ，且()()ee xx f x f x --=-=-，故函数为奇函数. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，属于基础题. 7．D【分析】令指数为零，求出x 的值，并代入函数()y f x =的解析式，即可得出定点P 的坐标. 【详解】令20x -=，得2x =，()0234f a =+=，因此，定点P 的坐标为()2,4.故选：D. 【点睛】本题考查指数型函数图象过定点问题，一般利用指数为零可求得定点的坐标，考查运算求解能力，属于基础题. 8．A 【解析】分析：已知圆柱的高等于1，侧面积等于4π，根据圆柱的侧面积公式，求出底面半径，即可得到圆柱的体积.详解：已知圆柱的高等于1，侧面积等于4π，设圆柱的底面半径为,r 根据圆柱的侧面积公式214,2r r ππ⨯=∴=，则圆柱的体积()22214.V r h πππ==⨯⨯= 故选A.点睛：本题考查圆柱的侧面积和圆柱的体积，属中档题. 9．A 【解析】 【分析】先由题中条件分别判断出a b c ，，的范围，进而可得出结果. 【详解】因为()20.90,1a =∈，0.921b =>，2log 0.90c =<，所以b a c >>.故选A 【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的性质，熟记性质即可比较大小，属于基础题型. 10．B 【解析】 【分析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA ⊥底面ABC ．然后由直角三角形面积公式求解． 【详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA ⊥底面ABC ． 则BC PC ⊥．∴该几何体的表面积1(34543445)322S =⨯+⨯+⨯+⨯=．故选：B ． 【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．11．D【解析】【分析】首先求出函数的定义域，然后利用二次函数的性质研究2()32g x x x =-+的单调性，结合函数ln y x =的单调性即可得结果.【详解】解：令2320x x -+>，解得1x <-或2x >，在()(),12,-∞-+∞上，2()32g x x x =-+的单调增区间为()2,+∞，因为函数ln y x =在定义域内单调递增，所以2ln 32f xx x 的递增区间是()2,+∞，故选：D.【点睛】本题考查复合函数的单调性，注意：一定要先求函数的定义域.12．C【解析】【分析】根据分段函数恒增，列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】 因为(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上是增函数，所以30134log 1a a a a a ->⎧⎪>⎨⎪--≤⎩，即3135a a a ⎧⎪<⎪>⎨⎪⎪≥⎩，解得：13a <<.故选：C【点睛】本题主要考查由分段函数恒增求参数，只需保证每段都是增函数，并注意结点位置的取值即可，属于常考题型.13．7【解析】【分析】根据含n 个元素的集合的子集个数为n 2个，即可得出结果.【详解】含n 个元素的集合的真子集个数为n 2个，所以集合{}1,0,1-的真子集个数为823=.故答案为：8【点睛】本题主要考查求集合的子集个数，熟记公式即可，属于基础题型.14．5【解析】【分析】先求(1)f -的值，再求f （f （﹣1））的值.【详解】根据题意，()221030x x f x x x -≥⎧=⎨⎩，，＜， 则f （﹣1）＝3×（﹣1）2＝3，则f （f （﹣1））＝f （3）＝2×3﹣1＝5. 故答案为：5【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．2【解析】【分析】画出直观图，得到B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，再求顶点B ′到x ′轴的距离.【详解】画出直观图，BC 对应B ′C ′，且B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，故顶点B ′到x ′轴的距离为2.故答案为：2【点睛】本题主要考查直观图和原图的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 16．3-【解析】【分析】根据函数的奇偶性进行转化求解即可．【详解】根据函数的奇偶性的性质可得()()()22213f f -=-=-+=-.故答案为：3-.【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键． 17．（1）{}4A B x x ⋃=≥-（2）{()3U C A B x x ⋂=<-或}2x >-【解析】【分析】（1）先化简集合B ，再根据并集的概念，即可求出结果；（2）先求出交集，再求补集，即可得出结果.【详解】（1）因为{}{}303B x x x x =+≥=≥-，{}42A x x =-≤≤- 所以{}4A B x x ⋃=≥-；（2）由（1）可得{}32A B x x ⋂=-≤≤-，因为U =R ， 所以{()3U C A B x x ⋂=<-或}2x >-.【点睛】本题主要考查集合交并补的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型. 18．(Ⅰ)12；(Ⅱ)12. 【解析】试题分析：（1）根据对数运算法则log ,lg lg lg ,m a a m m n mn =+= 化简求值（2）根据指数运算法则01(),1,m n mn m ma a a a a -===，化简求值 试题解析：（Ⅰ）原式()3111log 3lg 254222222=+⨯-=+-=. （Ⅱ）原式1223233343441112292992⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.19．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】(1)证明四边CDFE 是平行四边形,再用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用线面垂直得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可证明.【详解】证明：（1）,,AB CD EF 相互平行，四边形ABEF 是梯形．CD EF =， ∴四边形CDFE 是平行四边形，DF CE ∴，DF BCE ∴⊄平面 ，CE BCE ⊂平面，∴DF BCE 平面（2）∵AD ⊥平面ABEF ，BE ⊂平面ABEF ，BE AD ∴⊥,BE AF ⊥,AF A AD =,∴BE ⊥平面ADF ，∵BE ⊂平面BCE ，∴平面ADF ⊥平面BCE .【点睛】本题主要考查的是线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，是中档题.20．（1）3()log f x x =； （2）12x -<<.【解析】【分析】（1）根据条件可得log 92a =，解得a ，即可得解析式；（2）由函数解析式可得()3log 11x +<，解对数不等式即可得解.【详解】（1）因为函数过点（9，2）所以log 92a =，即29a =，因为0a >，所以3a =.所以函数()f x 的解析式为()3log f x x =;()()31log 1f x x +=+.由()11f x +<可得()3log 11x +<，即()33log 1log 3x +<即1013x x +>⎧⎨+<⎩，即12x -<<. 所以，实数x 的取值范围是12x -<<.【点睛】本题主要考查了解对数不等式，注意真数大于0，属于基础题.21．（1）见解析（2）见解析【解析】[证明] （1）∵AS AB =，AF SB ⊥，垂足为F ，∴F 是SB 的中点，又因为E 是SA 的中点，∴EF ∥AB ，∵EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ；同理EG ∥平面ABC . 又EF EG E ⋂=，∴平面EFG ∥平面ABC .（2）∵平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF SB ⊥， ∴AF ⊥平面SBC ，∵BC ⊂平面SBC ，∴AF BC ⊥，又因为AB BC ⊥，AF AB A ⋂=，AF 、AB ⊂平面SAB ，∴BC ⊥平面SAB ，∵SA ⊂平面SAB ，∴BC SA ⊥.【考点定位】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.22．（1）1；（2）减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）奇函数在0x =处有定义时，()00f =，由此确定出a 的值，注意检验是否为奇函数；（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可.【详解】()1根据题意，函数()221x x a f x -+=+是定义域为R 奇函数， 则()0020021a f -+==+，解可得1a =， 当1a =时，()()12121212x xx x f x f x -----=-==-++，为奇函数，符合题意； 故1a =；()2由()1的结论，()12121221x x x f x -==-++，在R 上为减函数； 证明：设12x x <，则()()()()()2212121222112221212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 又由12x x <，则()21220x x ->，()1210x +>，()2210x +>，则()()120f x f x ->，则函数()f x 在R 上为减函数．【点睛】本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在0x =处有定义时，一定有()00f =.。