高一上学期期末考试数学试题(含答案)第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.480sin 的值为( )A ．21-B ．23- C.21 D.23 2.若集合},2|{R x y y M x∈==，}1|{-==x y x P ，则=P M ( )A.),1(+∞B.),1[+∞C.),0(+∞D.),0[+∞ 3.已知幂函数)(x f y =通过点)22,2(，则幂函数的解析式为( )A.212x y =B.21x y =C.23x y = D.2521x y =4．已知54sin =α，并且α是第二象限角，那么αtan 的值等于( ) A ．34-B ．43- C.43 D.34 5.已知点)3,1(A ，)1,4(-B ，则与向量AB 同方向的单位向量为( )A.)54,53(-B.)53,54(-C.)54,53(-D.)53,54(- 6.设αtan ，βtan 是方程0232=+-x x 的两根，则)tan(βα+的值为( ) A ．3- B ．1- C ．1 D ．37.已知锐角三角形ABC 中，4||=AB ，1||=AC ，ABC ∆的面积为3，则AC AB ⋅的值为( ) A.2 B.2- C.4 D.4-8.已知函数)cos()sin()(βπαπ+++=x b x a x f ，且3)4(=f ，则)2015(f 的值为( ) A ．1- B ．1 C ．3 D ．3- 9.下列函数中，图象的一部分如图所示的是( ) A.)6sin(π+=x y B.)62sin(π-=x y C.)34cos(π-=x y D.)62cos(π-=x y 10.在斜ABC ∆中，C B A cos cos 2sin ⋅-=，且21tan tan -=⋅C B ，则角A 的值为( )A ．4π B.3π C ．2π D.43π11.已知)3(log )(221a ax x x f +-=在区间),2[+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.]4,(-∞B.)4,(-∞C.]4,4(-D.]4,4[- 12.已知函数)6(sin 22cos 1)(2π--+=x x x f ，其中R x ∈，则下列结论中正确的是( )A.)(x f 是最小正周期为π的偶函数B.)(x f 的一条对称轴是3π=xC.)(x f 的最大值为2D.将函数x y 2sin 3=的图象左移6π个单位得到函数)(x f 的图象第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13.已知向量a ，b 夹角为45，且1||=a ，10|2|=-b a ，则=||b ________.14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=)2000(100)2000(3cos 2)(x x x x x f π则=)]2014([f f ________．15.如图所示，CD BC 3=， O 在线段CD 上，且O 不与端点C 、D 重合，若AC m AB m AO )1(-+=，则实数m 的取值范围为______.16.设)(x f 与)(x g 是定义在同一区间],[b a 上的两个函数，若函数)()(x g x f y -=在],[b a x ∈上有两个不同的零点，则称)(x f 和)(x g 在],[b a 上是“关联函数”，区间],[b a 称为“关联区间”．若43)(2+-=x x x f 与m x x g +=2)(在]3,0[上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本题满分10分）计算：10cos 310sin 1-18.（本题满分12分）已知)23sin(2)3sin(απαπ+=+，求下列各式的值： (1)ααααcos 2sin 5cos 4sin +-；(2)αα2sin sin 2+.19．（本题满分12分）已知4||=a ，8||=b ，a 与b 的夹角是120. (1)计算：①||b a +，②|24|b a -； (2)当k 为何值时，?)()2(b a k b a -⊥+20.（本题满分12分）若函数)43lg(2x x y +-=的定义域为M .当M x ∈时，求x x x f 432)(2⨯-=+的最值及相应的x 的值.21.（本题满分12分）已知定义在区间),0(+∞上的函数)(x f 满足)()()(2121x f x f x x f -=，且当1>x 时，0)(<x f . (1)求)1(f 的值； (2)判断)(x f 的单调性；(3)若1)3(-=f ，求)(x f 在]9,2[上的最小值．22.（本题满分12分）若0>a ，函数b a x x x a x f +++-=3)cos cos sin 3(2)(2，当]2,0[π∈x 时，1)(5≤≤-x f .(1)求常数a ，b 的值； (2)设)2()(π+=x f x g 且，求]1)(lg[-x g 的单调区间．一、选择题DBCAAA ADDACD三、填空题三、解答题17.（本题满分10分）计算： 418.（本题满分12分）解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.19．（本题满分12分）解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16.(1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16 3. (2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )， ∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0， ∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．20.（本题满分12分）∵y=lg(3-4x+x 2),∴3-4x+x 2＞0, 解得x ＜1或x ＞3, ∴M={x|x ＜1或x ＞3},f(x)=2x+2-3×4x =4×2x -3×(2x )2. 令2x =t,∵x ＜1或x ＞3,∴t ＞8或0＜t ＜2.设g(t)=4t-3t 2 ∴g(t)=4t-3t 2=-3(t-23)2+43(t ＞8或0＜t ＜2). 由二次函数性质可知： 当0＜t ＜2时，g(t)∈(-4,43],21.（本题满分12分）(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2， 则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2. 22.（本题满分12分）f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6， k ∈Z 时，g (x )单调递减， 即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。