E2
2 2

n(1 n 2 ) n (1 ) 0 2 2 1 n 2(1 1 ) 1 12 0 0 0 m(1 1 ) 1 1 2n 22





当层面与x轴有一倾角时[D]必须进行变换。
则在（x’,y’）中，
Hale Waihona Puke 对于平面应力问题，温度引起的初应变为

0
T 其中：α为膨胀系 T 数 0 温度不引起剪切变形
对于平面应变问题
μ为泊松 比

0
T 1 T 0
对于层状各项异性材料： 由于线膨胀系数可能随方向的变化而变化，设X’,Y’为层状材料 的主应力方向，设相应的膨胀系数为α1，α2， X’与X夹角为φ，则在 平面应力问题的初应变为：
2.3单元应变
•单元内的应变分量可用矩阵表示为：
u x x y v y xy u v y x
应变分 量是常 量
其子矩阵：
bi 1 Bi 0 2A c i
3.各向异性体

设y轴垂直于层面，则有如下应力应变关 系：
x x E 1 2 y E 2 1 z E 1 , xy xy G 2 y 2 x E 2 y E 2 2 z E 2 , yz yz G 2 z 1 x E 1 2 y E 2 z E 1 , zx 2 1 ) zx E 1 (1
E
E
由矩阵表示为：
x 1 E y 2 1 xy 0

1 0
0 0 1 2
x x 0 y y 0 xy xy 0
解得
u
1 (ai bi x ci y)ui (a j b j x c j y)u j (am bm x cm y)u m 2A
v
1 (ai bi x ci y)vi (a j b j x c j y)v j (am bm x cm y)vm 2A
1 xi 1 A 1 x j 2 1 x m
yi yj ym
ai x j ym xm y j , bi y j ym , ci xm x j a j x m y i xi y m , b j y m y i , c j xi x m am xi y j x j yi , bm yi y j , cm x j xi
0 ci (i, j , m) bi
带入到位 移函数
bi 1 0 2A c i
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
ui v b 0 i u j 1 i cm 0 v j 2A c i bm u m v m
记
E1 E 2 n,G2 E 2 m
平面应力问题的弹性矩阵为：
n n 2 E2 D 1 (1 n 2 ) n 2 2 0 0
平面应变问题的弹性矩阵：
0 2 m(1 n 2 ) 0
D
(1 1 ) 1 1 2n
由以上可以解出：
x y xy
E
1
2
( x x 0 y y 0 ) ( x x 0 y y 0 ) 1 xy 0 ) ( xy xy 0） 2 2 1
E
1
2
( xy 2 ) (1
0
T 1 T 0
1 (1 ) E(1 ) D 1 (1 ) 1 1 2 0 0
0 1 2 2(1 ) 0

在（x，y）中，
， D , ,

,
,




D

,

,

T

,


D

,
T
整体坐标 系的弹性 矩阵
因此，单元位移：
u r N e INi v

IN j
INm

e
其中：
1 0 I 0 1
位移模式需满足以下三个条件： 1。位移模式必须反映单元的刚体位移 2。位移模式必须反映单元的常量应变 3。位移模式应尽可能反映位移的连续性

0
T , 1 x0 y ,0 2T 0 x ,y ,0

, 0
T
0
cos2 sin2 sin cos
为了简化位移函数的表达式，记：
ai bi x ci y N a j b j x c j y Ni j 2A 2A a m bm x c m y Nm 2A u N i ui N j u j N m u m
简单表达式：
v Ni vi N j v j N m vm
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0 e e c m B bm
2.4初应变
初应变是指与应力无关，由温度变化、收缩、晶体生长等因素引起的应 变，即

0
x 0 yo xy 0
E S i D Bi 2 2 )A (1 1
bi bi
ci 2
ci ci 1 bi 2
2.各项同性体——平面应变
1 x ( x E 1 y ( y E (1 2 xy E 其中， x
z x ) T ) xy 1 ( z x y ) T 0 E y z ) T
再次得到

D ( 0 )
其中：

或

D ( 0 )
[D]为弹性矩阵，它决定于E和μ
bi 1 0 2A c i
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
ui v b 0 i u j 1 i cm 0 v j 2A c i bm u m v m
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0 e e c m B bm
应力矩阵

S D 0
e
S D B S i
Sj
Sm
v 4 5 x 6 y
因此可以得到:
ui 1 2X i 3Yi ui 1 2X j 3Yj ui 1 2X m 3Y m v i 4 5X i 6Yi v i 4 5X j 6Yj v i 4 5X m 6Y m
D
,

D, D
2 sin cos 2 cos 2 sin cos sin cos cos2 sin 2 sin2
经过变换，在（x，y）中，γxy0可能不为0
2.5平面应力
1.各向同性体——平面应力
有广义胡克定律：
y x x x 0 E E y x y y 0 E E 2 ) (1 xy xy xy 0 E
2.2位移函数
每一结点具有两个位移分量：
i
ui v i
每个单元六个结点的位移分量可以表示为一个向量：
i e j m 假定单元内的位移分量是坐标的线性函数：
u 1 2 x 3 y
有限单元法原理与应用
——平面问题
2.1连续介质的离散化
连续介质的离散
连续介质的有限单元分析包含三个基本方面：介质的离散化、单元特性计算以及单元 组合体的结构分析。
对于二维连续介质，以图所示的建筑在岩石 基础上的支墩坝为例，用有限单元法进行分 析的步骤如下： (1)用虚拟的直线把原介质分割成有限个 三角形单元，这些直线是单元的边界，几条 直线的交点称为结点。 (2)假定各单元在结点上互相铰接，结点 位移是基本的未知量。 (3)选择位移函数。 (4)通过位移函数，用结点位移唯一地表 示单元内任一点的应变；再利用广义虎克定 律，用结点位移可唯一地表示单元内任一点 的应力。 (5)利用能量原理，找到与单元内部应力状态等效的结点力，再利用单元应力与结点位移 的关系，建立等效结点力与结点位移的关系。 (6)将每一单元所承受的荷载，按静力等效原则移置到结点上。 (7)在每一结点建立用结点位移表示的静力平衡方程，得到一个线性方程组：解出这个 方程组，求出结点位移，然后可求得每个单元的应力。