第三章习题解答3.2 求下列方波形的傅里叶变换。

(a) 解：1102()()11()2tj t tj t tj t tj t j a F j f t e dte e dt j e t tS e j ωωωωωωωωω-----=-=⋅=-==⎰⎰(b) 解：20022()111()[]1(1)1(1)tj t tj t t t j t j tt tj t j t j t j t j tj ttF e dt e e dt tde j j jtee dt je e ej e ωωωωωωωωωωωτωτωτωωτωωττω----------=-=⋅==⋅⋅-=-=+-=+-⎰⎰⎰⎰(c) 解：13112211()()22111()()2211()cos21()21()21112()2()22j t j t j t j t j t j t j t j tF t e dte e e dt e e dt e ej j ωππωππωωππωωπωππωω-------+---+--=⋅=+⋅=+=--+⎰⎰⎰()()()()22221111[][]2222j j j j e e e e j j ππππωωωωππωω----++=⋅--⋅--+2222sin()sin()cos ()cos ()cos 2222()()2222ππππωωωωωωπωππππωωωω-+⋅++⋅-⋅=+==-+--(d)解：24222()()2222()()22()()()()2222()sin 1()21()2112()2()sin[(22()2()T j tT T j t j t j t T T j t j tT TT j t j t T T TTTTj j j j F t edte e e dt j e e dt je e T ee ee j j j j ωωωωωωωωωωωωωωω--Ω-Ω--Ω--Ω+-Ω--Ω+--Ω--Ω-Ω+-Ω+=Ω⋅=-=--=-Ω-Ω+Ω---=+=⋅Ω-⋅Ω+⎰⎰⎰)]sin[()]2()()Tj j ωωωωΩ++Ω-Ω+3.3依据上题中a,b 的结果，利用傅里叶变换的性质，求题图3.3所示各信号的傅里叶变换. (a) 解：11111()()()f t f t f t =--11()f t 就是3.2中(a)的1()f t如果1()()f t F ω↔，则1()()f t F ω-↔-111111111222()()()()()sin()42()[]sin()sin ()2222j j a f t f t f t F F t S eejj ττωωωωωτωττωτωττωτω-∴=--↔--=⋅⋅-=⋅=(b) 解：2()()()f t g t g t στ=+,而()()2a g t S τωττ↔2()(3)2()a a F S S ωσωω∴=+如利用3.2中(a)的结论来解，有：211'()(3)(1)f t f t f t ττ=+++，其中,'2τστ==.3211'()()()(3)2()j j a a F e F e F S S ωωττωωωσωω∴=⋅+⋅=+(如()()f t F ω↔，则00()()j t f t t eF ωω±↔)2()f t(c) 解：32222()2()2(),1f t f t f t τττ=++--= 由3.2(b)知，2221()(1)j t j t F e j te ωωωωτω--=+- 32222222222222()2()2(),1112(1)2(1)222222444cos (1cos )j t j t j j j j j j j j F e F e F e e j e e e j e je je ωωωωωωωωωωωωωτωωωωωωωωωωωωωωω----∴=+-==⋅⋅+-+⋅⋅+-=+-+--=-=-(d) 解：设 ,0()0,tt f t elseττ<<=由3.2知，21()(1)j tj tF ej teωωωωτω--=+-而本题中，4()(0.5)(0.5)f t f t f t =-- 由傅里叶变换的尺度变换特性有：41()()()j b af t f at b e F aωω-=-↔⋅在本题中，a=0.5,b=0.4222222222222()2(2)2(2)21(21)(21)42()()22cos(2)sin(2)j t j t j t j t j t j t j t j t F F F e j te e j te j e e j e e j j j ωωωωωωωωωωωωωωτωτωτωωτωτωωτ----∴=--=+-----=-++=-(e) 解：设1,01()0,t f t else<<=由3.2知，2()()2ja F S eωωω-=根据5()f t 的波形，将5()f t 用()f t 表示为566()[()()]sin(6)1[()()]()2j t j t f t f t f t t f t f t e e jπππ-=+-=+-- 22[()()]()()()()2()cos222sin cos sin 22222()2jja a a f t f t F F S ee S S ωωωωωωωωωωωωω-+-↔+-=+==⋅=⋅=由频移特性.00()()j tf t eF ωωω±↔52222221()[2(6)2(6)]21sin(6)sin(6)[(6)sin(6)(6)sin(6)][]66(6)(sin 6sin sin 6sin )12sin 3636a a F S S jj j j j ωωπωπωπωπωπωπωπωπωπωππωωωπωωωπωπωπωπω∴=⋅--+-++---+=-=-+-+-+==⋅--(f) 解：设3()()f t f t =2222224()(1cos )1sin [1cos(2)]248()2sin ()sin ()22F F ωωωωωωωωωω=-=-=⋅⋅=61()()cos(10)()()2jw t jw t f t f t t f t e e πππ-==+ 利用频移特性有：6222211()(10)(10)22410410sin ()sin ()(10)2(10)2F F F ωωπωπωπωπωπωπ=-++-+=+-+3.4利用对称性求下列各函数的傅里叶变换. (1) sin 2(2)(),(2)t f t t t ππ-=-∞<<+∞-解：()2[2(2)]a f t S t π=⋅-而()()2a g t S τωττ↔或4()4(2)a g t S πππω↔由对称性，4411(2)2()()42a S t g g ππππωωπ↔⋅-= 224,22[2(2)]()0,2j j a e S t g e ωωπωππωωπ--⎧<⎪⋅-↔=⎨>⎪⎩(2) 222(),.f t t tαα=-∞<<+∞+ 解：222t e αααω-↔+，由对称性，2222e tαωαπα-↔+(3)444444444244()[2][2]1[2]()21111()[2][2][()]*[()][()()]22282,()()0.22,()()2;26,()()a a a a a f t S t S t S t g f t S t S t g g g g g g g g d g g d πππππππωππππππππωππωωωωππωπωωπωπωωωππωπωω-=⋅↔=⨯↔=*<-*=-<<*=∆=+<<*=∆⎰解：而，利用数域卷积特性，得：积分：2444246.6,()()0g g πωππππωππωωπωω-=-+=->*=⎰3.82[()](),.1(2);()()(),[(-)()],1()()().11()2(2)22n nnF f t F tf t d F f t F F jt f t d dF dF tf t j j d d dF t f t j d ωωωωωωωωωωωω==↔=↔=-⋅⋅=⋅若已知试求下列函数的频谱（）由频域微分特性，如则当(2) (1)f t -;1[()]().1, 1.(1)()j b aj F f at b e F a aa b f t e F ωωωω---=⋅=-=-∴-↔⋅-在本题中，(3) ()(2)()2()dF t f t j F d ωωω-↔-(4) (1)(1)t f t --;解：由频域的微分特性，得：()()dF tf t jd ωω↔. 由时移特性：()(1)(1)j dF t f t je d ωωω++↔.(5) ()df t tdt; ()()().()().()-[][()]()()[()]().n n n d f t j F dtdf t j F dt df t djt j F dt d df t d dF t F F dt d d ωωωωωωωωωωωωωω↔∴↔↔∴↔-=--⋅由时域微分特性：而由频域的微分特性，有：(6) (25)f t -;由1[()]()j b aF f at b e F a aωω--=⋅，2,5,a b == 2.51(25)()22j f t e F ωω-∴-↔⋅3.9 计算下列各信号的傅里叶变换.(2) 3()2(32)()2[2()]2u t t u t t δδ+-=+--3(3)2232()1,1[()]().2, 3.112(32)21,()().21()2(32)()j b aj j j t F f at b e F a aa b t e e u t j u t t e j ωωωωδωδπδωωδπδωω------↔-==-=-∴-↔⋅⋅⋅=↔+∴+-↔++由(7) 33(2)63(3)9[(2)(3)](2)(3)tt t eu t u t e u t e e u t e --+---+--=⋅+-⋅-33(2)23(3)31.311();(2)331(3)3t t t j t j e j e u t e u t e j j e u t e j αωωωωωω---+---↔+∴↔+↔++-↔+同理：362931[(2)(3)]()3t j j e u t u t e e e e j ωωω---∴+--↔⋅-⋅+3.10 利用傅里叶变换性质，求题图3.10所示函数的傅里叶逆变换。