第三章 线性系统的时域分析与校正习题及答案3-3 一阶系统结构图如图所示。
要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。
解 由结构图写出闭环系统传递函数111)(212211211+=+=+=ΦK K sK K K s K sK K s K s令闭环增益212==ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03321≤==K K T t s ，得：151≥K 。
3-2 单位反馈系统的开环传递函数)5(4)(+=s s s G ，求单位阶跃响应)(t h 和调节时间t s 。
解：依题，系统闭环传递函数)1)(1(4)4)(1(4454)(212T s T s s s s s s ++=++=++=Φ ⎩⎨⎧==25.0121T T41)4)(1(4)()()(210++++=++=Φ=s C s C s C s s s s R s s C1)4)(1(4lim)()(lim 000=++=Φ=→→s s s R s s C s s34)4(4lim)()()1(lim 011-=+=Φ+=→-→s s s R s s C s s31)1(4lim)()()4(lim 042=+=Φ+=→-→s s s R s s C s st t e e t h 431341)(--+-=421=T T ， ∴3.33.3111==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T T t t s s 。
159.075.40''<''==T t s3-3 机器人控制系统结构图如图所示。
试确定参数21,K K 值，使系统阶跃响应的峰值时间5.0=p t s ，超调量%2%=σ。
解 依题，系统传递函数为222121212112)1()1()1(1)1()(n n n s s K K s K K s K s s s K K s s K s ωξωωΦΦ++=+++=++++= 由 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=≤=--5.0102.0212np oo t e ωξπσξπξ 联立求解得⎩⎨⎧==1078.0n ωξ 比较)(s Φ分母系数得⎪⎩⎪⎨⎧=-===146.0121001221K K K n n ξωω 3-4 某典型二阶系统的单位阶跃响应如图所示。
试确定系统的闭环传递函数。
解 依题，系统闭环传递函数形式应为2222.)(nn ns s K s ωξωω++=ΦΦ 由阶跃响应曲线有：21)(lim )()(lim (0==⋅Φ=Φ=∞Φ→→K ss s s R s s h s s ） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===-=--o oo o n p e t 25225.221212ξξπσξωπ联立求解得 ⎩⎨⎧==717.1404.0n ωξ所以有 95.239.19.5717.1717.1404.02717.12)(2222++=+⨯⨯+⨯=Φs s s s s 3-5 设图（a ）所示系统的单位阶跃响应如图（b ）所示。
试确定系统参数,1K 2K 和a 。
解 由系统阶跃响应曲线有⎪⎩⎪⎨⎧=-===∞oo o op t h 3.333)34(1.03)(σ系统闭环传递函数为222212212)(nn n s s K K as s K K s ωξωω++=++=Φ （1）由 ⎪⎩⎪⎨⎧===-=--o o o o np et 3.331.01212ξξπσωξπ 联立求解得 ⎩⎨⎧==28.3333.0n ωξ 由式（1）⎩⎨⎧====222110821n n a K ξωω另外 3lim 1)(lim )(2122100==++=⋅Φ=∞→→K K as s K K s s s h s s 5.21)(lim )(0=⋅Φ=∞→ss s h s 3-6 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。
（1）01011422)(2345=+++++=s s s s s s D （2）0483224123)(2345=+++++=s s s s s s D （3）022)(45=--+=s s s s D（4）0502548242)(2345=--+++=s s s s s s D解（1）1011422)(2345+++++=s s s s s s D =0Routh ： S 5 1 2 11 S 4 2 4 10 S 3 ε 6 S 2εε124- 10S 6 S 0 10第一列元素变号两次，有2个正根。
（2）483224123)(2345+++++=s s s s s s D =0 Routh ： S 5 1 12 32S 4 3 24 48 S 33122434⨯-= 32348316⨯-= 0S 2424316412⨯-⨯= 48S 1216448120⨯-⨯= 0 辅助方程 124802s +=,S 24 辅助方程求导：024=sS 0 48系统没有正根。
对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s j 122,=±。
（3）022)(45=--+=s s s s DRouth ： S 5 1 0 -1S 4 2 0 -2 辅助方程 0224=-sS 3 8 0 辅助方程求导 083=sS 2 ε -2 S ε16S 0 -2第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0224=-s 可解出： ))()(1)(1(2224j s j s s s s -+-+=-))()(1)(1)(2(22)(45j s j s s s s s s s s D -+-++=--+= （4）0502548242)(2345=--+++=s s s s s s D Routh ： S 5 1 24 -25S 4 2 48 -50 辅助方程 05048224=-+s sS 3 8 96 辅助方程求导 09683=+s sS 2 24 -50 S 338/3S 0 -50第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程05048224=-+s s 可解出： )5)(5)(1)(1(25048224j s j s s s s s -+-+=-+)5)(5)(1)(1)(2(502548242)(2345j s j s s s s s s s s s s D -+-++=--+++=3-7 单位反馈系统的开环传递函数为)5)(3()(++=s s s Ks G要求系统特征根的实部不大于1-，试确定开环增益的取值范围。
解 系统开环增益 15K K k =。
特征方程为： 0158)(23=+++=K s s s s D 做代换 1-'=s s 有：0)8(25)1(15)1(8)1()(2323=-+'+'+'=+-'+-+-'='K s s s K s s s s DRouth ： S 3 1 2 S 2 5 K-8 S 518K - 18<⇒KS 0 8-K 8>⇒K使系统稳定的开环增益范围为：151815158<=<K K k 。
3-8 温度计的传递函数为11+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。
若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数11)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T h 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为Tss s s G 1)(1)()(=Φ-Φ=⎩⎨⎧==11v TK 用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T Ke ss ︒===5.21010。
解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1111)()(1)()()(+=+-=-==ΦTs TsTs s R s C s R s E s e C T sTs Ts ss R s s e s e s ss ︒==⋅+=Φ=→→5.210101lim )()(lim 203-9 系统结构图如图所示。
试求局部反馈加入前、后系统的静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数。
解 局部反馈加入前，系统开环传递函数为 )1()12(10)(2++=s s s s G∞==∞→)(lim s G K s p∞==→)(lim 0s sG K s v10)(lim 20==→s G s K s a局部反馈加入后，系统开环传递函数为)20()12(1012011(1012)(2+++=+++⋅+=s s s s s s s s s s G ）（）∞==→)(lim 0s G K s p5.0)(lim 0==→s sG K s v0)(lim 20==→s G s K s a3-10 单位反馈系统的开环传递函数为)5(25)(+=s s s G（1） 求各静态误差系数和25.021)(t t t r ++=时的稳态误差ss e ； （2） 当输入作用10s 时的动态误差是多少？解 （1）)5(25)(+=s s s G ⎩⎨⎧==15v K∞=+==→→)5(25lim)(lim 0s s s G K s s p5525lim)(lim 0=+==→→s s G s K s s v0525lim)(lim 020=+==→→s ss G s K s s a )(1)(1t t r =时， 0111=+=pss K et t r 2)(2=时， 4.0522===v ss K A e 235.0)(t t r =时，∞===13a ss K A e 由叠加原理 ∞=++=321ss ss ss ss e e e e （2） 题意有255)5()(11)(2+++=+=Φs s s s s G s e用长除法可得 ++=++++=Φ3332210008.02.0)(s s s C s C s C C s e008.002.003210====C C C C)(1)(2)(5.021)(2='''=''+='++=t r t r tt r t t t r∴ t t r C t r C t r C t r C t e s 2.04.0)()()()()(3210+=+'''+''+'+=∴ 4.2)10(=s e3-11 控制系统结构图如图所示。
其中1K ，02>K ，0≥β。
试分析： （1）β值变化(增大)对系统稳定性的影响；（2）β值变化(增大)对动态性能（%σ，s t ）的影响； （3）β值变化(增大)对t a t r =)(作用下稳态误差的影响。