∴当a=-1时，F(a)取得最小值1.
【想一想】(1)解答题1用到的思想方法是什么？ (2)解答题2的关键点是什么？ 提示：(1)解答题1是利用待定系数法求函数的解析式，其实质 是方程思想的应用. (2)关键是通过求定积分构造出关于a的函数F(a).
分类讨论思想在分段函数积分中的应用
【典例】(12分)已知f(x)=
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解 题启示总结如下：(注：此处的①②③见规范解答过程)
在解答过程中，若忽视积分下限k≤3这一隐含条件，即
①
漏掉①处对两种情况的讨论，而直接得到第(2)种情况， 虽然结果正确，但是解析不完整，实际考试中最多给5分，
失 是考试中常出现的失分点.
分 在解答过程中，虽然分①的两种情况讨论，但求被积函
2
∴
2 1
x
2
dx
(
1 2
x
2
2x)
|12
=( 1×22+2×2)-( ×1 12+2×1)= .7
2
2
2
(2)∵(x2)′=2x,( )′=1 - ， 1
x
x2
∴
3 1
(2x
1 x2
)dx
3
2xdx
1
31 1 x2 dx
=x2
3 1
1 x
3 1
9 1 .(1
3
1)
22 3
(3)∵[ 1 x]′=1(6x-1)5，
2.
2
1
cosx
dx
=_______.
2
【解析】∵(x+sinx)′=1+cosx,
∴
2
1
co=sx
dx
2
答案：π+2
=xπ+sin2x.
2
2
b
a
f
x
dx
3.
1
0
x
2
x
dx
=______.
【解析】∵ (1 x3 =1xx22-)x ,
32
∴
1 0
x2 x
dx
(1=x3
3
.
1 2
x2
)
4
a 2
a
25 2
,
3＜a＜4,
7a
7 2
,
a
3.
(2) 2 1 sin2xdx 0
= 2 sinx cosx2 dx 0
=
2 sinx cosx dx
0
=
4 cosx sinx dx
0
2
sinx
cosx
dx
=sinx cosx
4
4 0
cosx
sinx
2
4
=2 2-2.
【归纳】解答题1的关键点及题2的注意点. 提示：(1)求分段函数的定积分的关键是利用定积分的性质将 其表示为几段积分和的形式. (2)对于含绝对值的解析式，注意先根据绝对值的意义找到分 界点，去掉绝对值符号，化为分段函数；含有字母参数的绝对 值问题，要注意分类讨论.
1
0
f
x
dx
1 0
kx
b
dx
=
(1 2
kx 2
=bx)k|10+b12 =5，
1xf xdx 0
1 0
kx2 bx
dx
=(1kk+x3
3
b1=bx
2
2，) |10
1 3
1 17 26
解方程组
1 2
k
1 3
k
b
1 2
5，
得k=4,b=3，
b 17， 6
∴f(x)=4x+3.
答案：f(x)=4x+3
微积分基本定理
微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)
(1)条件：函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且_F_′__(_x_)_=_f_(_x_).
(2)结论：ab f xdx =_F_(_b_)_-_F_(_a_)_. (3)符号表示：ab f xdx Fx |ab =_F_(_b_)_-_F_(_a_).
∴ 1 x3 ax =3a b dx 1 x3 ax dx 1 3a bdx
1
1
1
=0 3a b= x0+|1(13a-b)[1-(-1)]
=6a-2b，……………………………………………………4分
∴6a-2b=2a+6，即2a-b=3.①…………………………… 6分
警 ② 数的原函数出错，即不能正确地得到②处的式子，实际
示 考试中，此种情况最多给4分,这是最可惜的失分现象.
在解答过程中，若漏掉③处的总结，则虽然不是错误， ③ 但解析过程不完整，实际考试中此种情况一般给10分，
这是考试中最不该失分的地方.
解 (1)解题时切记分类讨论思想的应用. 题 (2)求被积函数的原函数是解题的关键步骤，对于基本初
可用a,b表示，进而得到关于a,b的两个方程.
(2)利用微积分基本定理求两个定积分时，应注意什么？
1
注意到g(x)=x3+ax为奇函数，进而求1
x3
ax 3a时 b，d结x 合定
积分的性质可以很容易求出.
【规范答题】∵g(x)=x3+ax为奇函数，
∴
1
1
x3 =ax0，dx…………………………………………2分
2.正确认识
b
a
f
x
dx
， b a
f
x
dx
与
|
b
a
f
x
dx
|
不同的几何意义
b
a
f
x
dx
表示x轴，直线x=a,x=b及曲线y=f(x)所围成 图形面积的代数和，可正、可负、可零.
b
a
f
x
dx
表示区间[a,b]上以|f(x)|为曲边的曲边 梯形的面积.
|
b
a
f
x
dx
|
表示
b
a
f
x
dx的绝对值.
【典例训练】（建议教师以第3题为例重点讲解）
(2)利用微积分基本定理求定积分ab f xdx的关键是找出被积函
数f(x)的一个原函数F(x)，通常我们运用基本初等函数的求导 公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x)，因此可见 求导运算与求原函数运算互为逆运算.(关键词：互逆运算)
求简单函数的定积分 【技法点拨】
利用微积分基本定理求简单函数的定积分的注意点和步骤 (1)注意点：当被积函数的原函数不易求解时，可将被积函数 适当变形后再求解.具体的方法是能化简的化简，不能化简的 变为指数函数、对数函数、幂函数、正余弦函数的和或差的形 式.(关键点：适当变形)
(2)步骤： 第一步：求出f(x)的一个原函数F(x)； 第二步：计算F(b)-F(a).
【典例训练】（建议教师以第2题为例重点讲解）
1. 2 2x2 x 1dx的值为(
1
x
(A)1+ln2
) (B)2+ln2
(C)3+ln2
(D)4+ln2
2.计算下列定积分：
(1)
2x 1
2dx；
(2)
x3
)
3 2
=(22+2)-(k2+k)+(31+ ×33)-(2+1 ×23)
3
3
= 40 k2 k， …40…………………………………… 8分
3
3
∴k2+k=0，
解得k=0或k=-1， ………………………………………… 10
分
综上所述，k=0或k=-1③. ………………………………… 12
分
定积分的综合应用 【技法点拨】
定积分综合应用的认识 利用定积分求平面区域面积的方法广泛应用于求不规则图形的 面积，这种题型往往与导数、函数的最值、不等式等相关知识 相结合.应用时要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这 两类问题区分开.定积分是一种和的极限，可以为正，也可以 为负或零，而平面图形的面积总为正.(关键词：定积分计算与 平面图形的面积)
3 1
(2x
1 x2
)dx；
(3)
2x 15 dx ； 1
(4)
2 sin2
x
dx .
0
2
【解析】1.选D.∵f(x)= 2x2 x 1 ，2x取F1(x1)=x2+x+lnx，则
x
x
F′(x)=2x+1+ ，
1
x
∴
2 2x2 x 1dx
1
x
=x 24+xln 2ln.x
|12
2.(1)∵[ 1+x22 x]′=x+2，
2
3x
F2
, x
1 2
x2
3x
则F1＇(x)=-x-3,F2＇(x)=x+3，
0 x =3 dx 4
(
1 2
x2
3x)|34
（ 1 2
x2
3x）|03
=
1 2
9
2=5.
3.(1)①当-a≤-4即a≥4时，
3 x a dx
4
3 x
4
a dx
( x2 2
ax) |34
= 7a ;7
2
②当-4＜-a＜3即-3＜a＜4时，
0
0
12
= ( x2
2
x)
1 0
x3 6
2
1 2
1.
23 6