第1章：复数与复变函数 §1 复数
1．复数域
形如iy x z +=的数，称为复数，其中y x ,为实数。
实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。
记为
z x Re =， z y Im =
虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数，实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。
复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数，z 的共轭复数记为z 。
设
，复数的四则运算定义为
加（减）法： 乘法：
除法：
相等：
当且仅当
复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+
②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ⋅=⋅
④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅
⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅
全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示。
例 设i 3,i 5221+=-=z z ，求
2
1
z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。
解 为求
2
1
z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=⋅⋅=z
z z z z z z 2．复平面
一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。
于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。
如果把x 和y 当作平面上的点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z 平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴. 在复平面上，从原点到点
所引的矢量
与复数z 也构成一一对应
关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如：
这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系. 3． 复数的模与辐角
向量
的长度称为复数
的模或绝对值，即：
易知：
(1)
(2)
(3)
(4) 点与点的距离为
实轴正向到非零复数所对应的向量间的夹角满足
称为复数的辐角，记为：。
任一非零复数有穷多个辐角，以表其中的一个特定值，并称合条件的一个为的主值，或称之为的主辐角。
有下述关系：
复数的幅角不能唯一地确定. 如果是其中一个幅角，则
也是其幅角，把属于的幅角称为主值幅角，记为argz. 复数“零”的幅角无定义，其模为零.
例 求 及
解
注意： 一般有两种含义，一种是指非零复数无穷多辐角中的一个，另一种
是指落在
之间的主辐角。
具体在题目中是指哪一种含义，需要根据上下
文来确定，一般是指主辐角。
用极坐标r,θ代替直角坐标x 和y 来表示复数z.有
则复数ｚ可表示为： ——三角式
利用欧拉公式：，复数ｚ可表示为：
——指数式
叫做复数ｚ的模，θ称为复数ｚ的幅角，记为Ａrgz.
例 将下列复数化成三角表示式和指数表示式。
()π0isin cos 1≤≤+-ϕϕϕ；
解：
⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=+=+-2icos 2sin 2sin
22
cos
2
i2sin
2
2sin sin cos 12
ϕϕϕϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
π)
(0,e 2
2sin 2πisin 2πcos 22sin 2
πi
≤≤=⎪
⎭⎫ ⎝⎛
-+-=-ϕϕϕϕϕϕ。
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
所以有
还可以得出三角不等式
例 求复数)
i 21)(i 34()
i 21)(i 34(+--+=
A 的模．
解 令i 21,i 3421-=+=z z ，有
2
121z z z z A ⋅⋅=
由共轭复数的运算结果得
12
1212
1212
121=⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
z z z z z z z z z z z z A
4．复数的乘幂与方根
对于非零复数θi e r z =，非零复数ｚ的整数次幂为
当r ＝１时, 则得棣摩弗公式
由此易知
非零复数ｚ的整数次根式
为
k=0,1,2,…，n-1.
对于给定的可以取n 个不同的值，它们沿中心在原点，半径为
的圆
周而等距地分布着. 例 求8)i 1(+． 解 4
πi e 2i 1=+，故有
16e 16e )2()e 2()i 1(2πi 4
π8i 8
84
πi
8
====+⋅
例 设i z +=1，求4z ．
解 因4
πi
e 2=z ，故4
arg ,2π
=
=z z ．于是，z 的四个四次方根为
16
πi
8
0e
2=w 16
9πi
8
1e
2=w 16
π17i
82e
2=w 16
π25i
8
3e
2=w
例 求z 3+8=0的所有根. 解: 1))
3
2sin 32(cos 2)(2831
3
ππππ
k i k i z +++=-=-=
(k =0, 1, 2),
即 i 31+, -2, i 31-.
例 计算
解
故
故
5．共轭复数
复数iy x -称为 iy x z +=的共轭复数，记为z 。
22y x +称为iy x z +=的模，记为z 。
一个复数
的共轭复数为
共轭复数满足
例 求复数
z z
w -+=
11（复数1≠z ）的实部、虚部和模。
解： ()()()()2
2221Im 21111111111|-|+|-|||-=|-|-+-=---+=-+=z z i z z z z z z z z z z z z z w 所以
,|
-|||-=2
2
11Re z z w
21Im 2Im |-|=
z z
w ，
()()
|-|+||+=
|
-|++=
|
-||+|=||z z z z z z z z w 1Re 21111112
例 若1||,1||<<b a ，试证：
11<--b a b
a 。
解： 0
|||1||1|||112222>---⇔-<-⇔<--b a b a b a b a b a b
a
然而
()()()()
b a b a b a b a b a b a -----=---11|||1|2
2 2222||||||||1b b a b a a b a b a b a -++---+=
()1||||||1222-+-=a b a (
)()
0||1||122>--=b a
即
11<--b a b
a 。
6．复数在几何上的应用举例 (1) 曲线的复数方程(略) (2) 应用复数证明几何问题(略)。