x 年高三第一次高考诊断数 学 试 题考生注意：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分为150分，考试时间120分钟。

所有试题均在答题卡上作答，其中，选择题用2B 铅笔填涂，其余题用0.5毫米黑色墨水、签字笔作答。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n （k ）=kn k k n P P C --)1(（k=0，1，2，…，n ）。

球的体积公式：334R V π=（其中R 表示球的半径） 球的表面积公式S=4πR 2（其中R 表示球的半径）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（理科）如果复数2()1bib R i-∈+的实部和虚部互为相反数，则b 的值等于 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3（文科）设全集{1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3},{6,7,8}U A B ===集合，则()()U U C A C B =（ ）A ．φB ．{4，5}C ．{1，2，3，6，7，8}D ．U2．已知4(,),cos ,tan()254ππαπαα∈=--则等于 （ ）A ．17 B ．7C ．17-D ．-73．在等差数列{}n a 中，若249212,a a a ++=则此数列前11项的和11S 等于 （ ） A ．11B ．33C ．66D ．994．（理科）将函数3sin(2)y x θ=+的图象F 1按向量(,1)6π-平移得到图像F 2，若图象F 2关于直线4x π=对称，则θ的一个可能取值是（ ）A ．23π-B ．23π C ．56π-D ．56π （文科）将函数cos 2y x =的图像按向量(,2)4a π=-平移后的函数的解析式为（ ） A ．cos(2)24y x π=++ B ．cos(2)24y x π=-+C ．sin 22y x =-+D ．sin 22y x =+5．（理科）有一道数学题含有两个小题，全做对者得4分，只做对一小题者得2分，不做或全错者得0分。

某同学做这道数学题得4分的概率为a ，得2分的概率为b ，得0分的概率为c ，其中,,(0,1)a b c ∈，且该同学得分ξ的数学期望122,E a bξ=+则的最小值是 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 （文科）某高中共有学生2000名，各年级男、女生人数如表所示。

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高三年级男生的概率是0.16，现用分 层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在高一年级抽取的学生人数 为 （ ） A ．19 B ．21 C ．24 D ．266．在ABC ∆中，若(2),(2)AB AB AC AC AC AB ⊥-⊥-，则ABC ∆的形状为 （ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形7．上海世博园区志愿者部要将5名志愿者分配到三个场馆服务，每个场馆至少1名，至多2名，则不同的分配方案有 （ ） A ．30种 B ．90种 C ．180种 D ．270种 8．已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，且满足,l l αβ⊄⊄，现有：①//l β；②l α⊥；③αβ⊥。

以其中任意两个为条件，另一个为结论，可以得出三个命题，其中真命题的个数为 （ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．已知点(,)P x y 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 、PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．210．（理科）设定义域为R 的函数(),()f x g x 都有反函数，且函数1(2)(3)f x g x -+-和的图像关于直线y x =对称，若(3)2009,(5)g f =则等于（ ） A ．2009B ．2010C ．2011D ．2012（文科）已知函数111()2(),()()2,xf x f x f m f n ---=+=反函数为若则11m n+的最小值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．211．（理科）已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，点C 是该双曲线的左顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若ABC ∆是锐角三角形，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）A ．（1，2）B ．（1，+∞）C ．(2,12)+D ．(1,12)+（文科）已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支恒有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．（1，2）B ．(]1,2C ．[)2,+∞D ．(2,)+∞12．右图是棱长为2的正方体的侧面展开图，点J ，K 分别是棱EC ，HR 的 中点，则在原正方体中，直线MJ 和直线QK 所成角的余弦值为（ ） A ．0 B ．1C ．10D ．45第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

13．曲线2(2,2)y x x A =-上点处的切线与直线250x y -+=的夹角的正切值为 。

14．（理科）若在2(3)nx y +的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为512，那么2)nx展开式中的常数项等于 。

（文科）62)x展开式中的常数项等于 。

15．已知直线01:06322:1=+=--y l y x l 和直线则抛物线214y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 。

16．若直角三角形的两条直角边长度分别为a ，b ，则此三角形的外接圆半径r =，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，则其外接球的半径R= 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）已知向量2(2,),(cos ,2sin ),() 1.m x n x x f x m n ===⋅-函数（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数()[,]36f x ππ-在区间上的值域。

18．（本小题满分12分）甘肃省某重点中学在2011年录用教师时，每一个应聘人员都需要进行初审、笔试、面试、试讲4轮考查，每轮合格者进入下一轮考查，否则被淘汰。

已知某应聘人员能通过初审、笔试、面试、试讲4轮考查的概率分别为5431,,,,6543且各轮能否通过互不影响。

（1）求该应聘人员至多进入面试的概率； （2）（理科）该应聘人员在选拔过程中被考查的环节个数记为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望。

（文科）求该应聘人员没有被录用的概率。

19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1。

（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ； （2）（理科）在线段PB 上是否存在一点E ，使得PC ⊥平面ADE ？若存在，请加以证明，并求此时二面角A —DE —B 的大小；若不存在，请说明理由。

（文科）若点E 为PB 的中点，求二面角A —DE —B 的大小。

20．（本小题满分12分） 设{},{}n n a b 都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有21,,n n n a b a +成等差数列，2211,,n n n b a b ++成等比数列。

（1）证明数列{}n b 是等差数列； （2）（理科）如果111,2a b ==，记数列1{}na 的前n 项和为n S ，问是否存在常数λ，使得n nb S λ> 对任意*n N ∈都成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由。

（文科）如果1112,2,{}na b a ==记数列的前n 项和为,n S 求证：*1(.)n S n N <∈21．（本小题满分12分）设点M 、N 分别是不等边ABC ∆的重心与外心，已知A （0，1），B （0，-1），且MN AB λ=。

（1）求动点C 的轨迹E ；（2）（理科）若直线y kx b =+与曲线E 交于不同的两点P 、Q ，且满足0OP OQ ⋅=，求实数b 的取值范围。

（文科）若直线y x b =+与曲线E 交于不同的两点P 、Q ，且满足0OP OQ ⋅=，求实数b 的取值。

22．（本小题满分12分）（理科）已知函数321,0()1,03x e x f x x mx x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩（,m R e ∈是自然常数）。

（1）求函数()f x 的极值；（2）当0x >时,设f(x)的反函数为1(),0fx p q -<<若，试比较1(),()f q p f q p ---及11()()fq f p ---的大小。

（文科）已知函数32()f x x ax bx c =+++图象上一点M （1，m ）处的切线方程为20y -=，其中a ，b ，c 为常数。

（1）函数()f x 是否存在单调递减区间？若存在，求出单调递减区间（用a 表示） （2）若x=1不是函数()f x 的极值点，求证：函数()f x 的图象关于点M 对称。