2009届江苏省东台中学高三第一学期期末数学考试试题卷一、填空题：1.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z n n x x M ,3sinπ，则满足条件M P =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-23,23 的集合P 的个数是___个2.若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+= 3．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0102202534x y x y x ，则POQ ∠cos 的最小值为__________4.设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程是_____________________ 5.已知函数)(x f 在1=x 处的导数为1，则xf x f x 2)1()1(lim-+→=___________6.若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：()1sin cos ,f x x x =+ ()2f x x =，()3sin f x x =则___________________为“同形”函数 7.椭圆122=+by ax与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为ba则,23=________ 8.一次研究性课堂上，老师给出函数)(||1)(R x x xx f ∈+=，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f (x )的值域为（－1，1）； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；丙：若规定||1)()),(()(),()(11x n x x f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意*∈N n 恒成立.你认为上述三个命题中正确的个数有__________个9.过定点P （1,2）的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422ab +的最小值为10.若直线2y a =与函数|1|(0xy a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 11.“已知数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n ≠，使得m n S S =，则0m n S +=。

”，类比前面结论，若正项数列{}n b 为等比数列，12. Rt △ABC 中,斜边AB=1,E 为AB 的中点,CD ⊥AB,则))((CE CA CD CA ∙∙的最大值为_________.13.设A=),,(321a a a ，B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321b b b ，记A ☉B=max {}332211,,b a b a b a ，若A=)1,1,1(+-x x ，B=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121x x ，且A ☉B=1-x ，则x 的取值范围为 。

14.设A 为锐角三角形的内角，a 是大于0的正常数，函数AaA y cos 1cos 1-+=的最小值是9， 则a =___ _ 二、解答题15.已知32()31f x ax x x =+-+，a R ∈． （1）当3a =-时，求证：()f x 在R 上是减函数；（2）如果对x R ∀∈不等式()4f x x '≤恒成立，求实数a 的取值范围． 16.在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，58222bcb c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6，D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d 。

⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ； ⑶求d 的取值范围 17.已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥；(Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．18.已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny+=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.19.某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标f(t)与时间t （单位：小时）之间的关系的函数模型：1()()2[0,24)3f tg t a a t =+-+∈，，其中，1()sin(18)224g t t π=-代表大气中某类随时间t 变化的典型污染物质的含量；参数a 代表某个已测定的环境气象指标，且]43,0[∈a 。

⑴ 求g(t)的值域； ⑵ 求M （a ）的表达式；⑶若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过 2.0，试问：若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由。

20.已知函数)(3)(3R a ax x x f ∈-=A11A E C（1）当1=a 时，求)(x f 的最小值；（2）若直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，求a 的取值范围（3）设]1,1[|,)(|)(-∈=x x f x g ，求)(x g 的最大值)(a F 的解析式。

参考答案：1. 42.12 3.22 3. 21 4. 50x y +-= 5. 126. ()()12,f x f x7.23 8. 3 9.32 10. 1(0,)211. 它的前n 项乘积为n T ，若m n T T =，则1m n T += 12.27213. [1，1+2] 14. 4 15．解：（1）当3a =-时，32()331f x x x x =-+-+，∵/2()961f x x x =-+-2(31)0x =--≤，∴()f x 在R 上是减函数.（2）∵x R ∀∈不等式()4f x x '≤恒成立，即x R ∀∈不等式23614ax x x +-≤恒成立， ∴x R ∀∈不等式23210ax x +-≤恒成立. 当0a =时，x R ∀∈ 210x -≤不恒成立； 当0a <时，x R ∀∈不等式23210ax x +-≤恒成立，即4120a ∆=+≤，∴13a ≤-.当0a >时，x R ∀∈不等式23210ax x +-≤不恒成立. 综上，a 的取值范围是1(]3-∞-，. 16．解：(1) 58222bc b c a -=-⇒542222=-+bc a c b⇒54cos =A ⇒53sin =A(2) 65321sin 21=⋅==∆bc A bc S ABC ，=∴bc 20 由542222=-+bc a c b 及=bc 20与a =3解得b=4，c=5或b=5,c= 4(3)设D 到三边的距离分别为x 、y 、z ，则6)543(21=++=∆z y x S ABC)2(51512y x z y x d ++=++= 又x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+，，，001243y x y x画出不等式表示的平面区域得：4512<<d17. (Ⅰ)证明：连结BD ，则BD //11B D ， …………1分 ∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵CE ⊥面ABCD ，∴CE BD ⊥．又C =ACCE ，∴BD ⊥面ACE ． ………………4分∵AE ⊂面ACE ，∴BD AE ⊥，∴11B D AE ⊥． …………………………………………5分 （Ⅱ）证明：作1BB 的中点F ，连结AF CF EF 、、． ∵E F 、是1BB 1CC 、的中点，∴CE1B F ，∴四边形1B FCE 是平行四边形，∴ 1CF// B E ． ………7分 ∵,E F 是1BB 1CC 、的中点，∴//EF BC ， 又//BC AD ，∴//EF AD ．∴四边形ADEF 是平行四边形，AF ∴//ED ， ∵AFCF C =，1B EED E =，∴平面//ACF 面1B DE ． …………………………………9分 又AC ⊂平面ACF ，∴//AC 面1B DE ． ………………10分 （Ⅲ）122ABDS AB AD ∆=⋅=． ……………………………12分 112333A BDEE ABD ABD ABD V V S CE S CE --∆∆==⋅=⋅=． ……………………………15分18.解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈,得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得F （3,0） 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>,则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2212516x y += （2）因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以222212516m n m n =+<+, 从而圆心O 到直线:1l mx ny +=的距离1d r =<=. 所以直线l 与圆O 恒相交又直线l 被圆O截得的弦长为L ===由于2025m ≤≤,所以2916162525m ≤+≤,则[,25L ∈, 即直线l 被圆O截得的弦长的取值范围是L ∈ 19. 解：⑴g(t) 的值域为[0，12]…………………5分 ⑵ 57,[0,]612()1733,(,]3124a a M a a a ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩…………………10分⑶当7[0,]12a ∈时，()M a =56a +≤712+56=1712<2; 当73(,]124a ∈时，()M a =133a -≤912324312-=<.所以若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数不会超标。

…………………15分 20.解：（1）11,0)(,33)(,1'2'=-==-==x x x f x x f a 或得令时当当)1,1(-∈x 时，),1[]1,(,0)('+∞--∞∈< x x f 当时，0)('>x f ， )(x f ∴的极小值是2)1(=f（2）a a x x f 333)(2'-≥-= ，∴要使直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，当且仅当a 31-<-时成立，31<∴a （3）因上的故只要求在上是偶函数在]1,0[,]1,1[|3||)|)(3--==ax x fx x g 最大值 ①当0≤a 时，)()(,0)0(]1,0[)(,0)('x f x g f x f x f =∴=≥上单调递增且在②当0>a时，),)((333)(2'a x a x a x x f -+=-=（ⅰ）当1,1≥≥a a 即（ⅱ）当10,10<<<<a a 即时，,],0[)(上单调递减在a x f 在]1,[a 单调递增；1°当131,031)1(<≤≤-=a a f 即时，a a a f a F 2)()(=-=；2°当310,031)1(<<>-=a a f 即 （ⅰ）当a f a F a a f a f 31)1()(,410,31)1()(-==≤<-=≤-时即（ⅱ）当a a a f a F a a f a f 2)()(,3141,31)1()(=-=<<-=>-时即综上 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<≤-=)1(,13)141(,2)41(,31)(a a a a a a a x F。