圆轴扭转后横截面保持平面
第一个结论
圆轴扭转时，横截 面保持平面，平面上 各点只能在平面内转 动
圆轴扭转后横截面保持平面
假设平面不是刚性转动， 直径将变成曲线，A端观察 者看到的情形。
圆轴扭转后横截面保持平面
假设平面不是刚性转动， 直径将变成曲线，B端观察 者看到的情形。
圆轴扭转后横截面保持平面
最终结论
圆轴扭转时，横 截面 保持平面，并且 只能发生刚性转动。
圆轴扭转后横截面保持平面
变形协调方程
圆轴扭转时的变形协调方程
若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据上述结论，在dx长度 上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d，但半径不等的圆柱上产生的剪 应变各不相同，半径越小者剪应变越小。
其中P为功率，单位为千瓦（kW）； n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。
4.1外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
P[马力]
Me
7024 n[r / min]
[N m]
若P为功率，单位为马力 （1马力=735.5 N•m/s ）
n为轴的转速，单位为转/分（r/min）
4.1外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
max
M x,max Wp
[ ]
[ ]为许用剪应力；是指圆轴所有横截面
上最大剪应力中的最大者，
钢 [ ] (0.5 ~ 0.6)[ ] 铸铁 [ ] (0.8 ~ 1)[ ]
例题1
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大剪应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直 径之比 = 0.5。二轴长度相同。
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
圆轴扭转时横截面上的最大剪应力
Wp 扭转截面系数
圆轴扭转时横截面上的最大剪应力
截面的极惯性矩与扭转截面系数
对于直径为 d 的实心圆截面
对于内、外直径分别为d 和 D 圆环截面
=d/D
4.3.5 受扭圆轴的强度设计准则
4-3-5 受扭圆轴的强度设计准则
第4章
圆轴扭转时的强度与刚度 计算
2020年10月28日
概述
请判断哪一杆件 将发生扭转
当两只手用力相等时，拧紧 罗母的工具杆将产生扭转
概述
请判断哪一杆件 将发生扭转
拧紧罗母的工具杆不仅产生 扭转，而且产生弯曲
概述
请判断哪些零件 将发生扭转
传动轴
传动轴将 产生扭转
概述
请判断哪一杆件 将发生扭转
连接汽轮机和发电机的传动轴将产 生扭转
概述
对于实心截面杆件以及某些薄壁截 面杆件，当其横截面上仅有扭矩（Mx） 或 剪 力 （ FQy 或 FQz ） 时 ， 与 这 些 内 力 分量相对应的分布内力，其作用面与 横截面重合。这时分布内力在一点处 的集度，即为剪应力。
概述
分析与扭矩和剪力对应的剪应力方 法不完全相同。对于扭矩存在的情形， 依然借助于平衡、变形协调与物性关系， 其过程与正应力分析相似。对于剪力存 在的情形，在一定的前提下，则可仅借 助于平衡方程。
例题2
3
已知：P1＝14kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36, z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm.
圆轴扭转变形特征－反对称性论证 圆轴扭转时横截面保持平面
运用反对称性分析，可以证明，圆轴受扭发生变形后，其横截面依 然保持平面。
圆轴扭转后横截面保持平面
根据圆 反轴 对的 称轴 要对 求称 ，C性、质DC两、点D不两
点 可必 能须 有具 轴有 向相 位同 移的 ，位因移而，必因须而仍二然 者 位必 于须 原位 来于 所同 在一 的圆周上。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直 径D2；确定二轴的重量之比。
例题1
解：首先由轴所传递的功率计算作用在 轴上的扭矩
实心轴
算得
例题1
解：对于空心轴，
d2＝0.5D2=23 mm
例题1
实心轴 d1=45 mm
空心轴 D2＝46 mm d2＝23 mm
解：确定实心轴与空心轴的重量之比 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面 面积之比：
G E 2(1 v)
4.3 圆轴扭转时横截面上的剪应力 分析与强度设计
平面假定
物性关系
变形
应变分布
应力分布
静力方程
应力分析方法与过程
应力公式
圆轴扭转变形特征－反对称性论证圆轴 扭转时横截面保持平面
变形协调方程 物性关系－剪切胡克定律 静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
4.3.1 平面假定与剪应变分布规律
P kw Me 9549 ne 确定后，应用 截面法可以确 定横截面上的 内力—扭矩Mx
例 4.1 变截面传动轴承受外加扭力矩作 用，如图4-2a所示。试画出扭矩图。
应用截面法，分 别确定AB和BC 段横截面上的内 力—扭矩Mx，绘出扭
矩图如（b） 所示。
概述
本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用 下其横截面剪应力
4.1 外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
4.2 剪应力互等定理,剪切胡克定律
4.3 圆轴扭转时横截面上的剪应力 分析与强度设计
4.4 圆轴扭转时的变形与刚度条件 4.5 结论与讨论
4.1外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
P kw Me 9549 nr / min [N m]
例 4.1 变截面传动轴承受外加扭力矩作 用，如图4-2a所示。试画出扭矩图。
扭矩图特征： 集中力偶作用 处，扭矩图有 突变，突变值 等于该集中力 偶数值。
4.2 剪应力互等定理,剪切胡克定律
4.2.1 剪应力互等定理
y
'
dy
dz x
z dx
Mz 0, (dydz)dx ( dxdz)dy 0
两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平 面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是剪应力互等定理
4.2.2 剪切胡克定律
通过扭转试验，可以得到剪应 力 与剪应变 之间的关系曲线 （图a）。
Gr
其中G为材料的弹性常数，称为 剪切弹性模量或切变模量 （shear modulus）
剪应变沿半径方向分布
设到轴线任意远处的剪应变为 ( ），则从图中可得到如下几何关系：
物性关系－剪切胡克定律
剪切胡克定律
剪应力沿半径方向分布
4.3.2 横截面上的剪应力分布
4.3.2 横截面上的剪应力分布 剪应力沿半径方向分布
静力学方程
圆轴扭转时相对扭转角的表达式 GIP—扭转刚度