回顾复习五：圆锥曲线及其几何性质
☆考点梳理
1．圆锥曲线的轨迹定义与统一定义．
2．圆锥曲线的标准方程及其推导．
3．圆锥曲线的几何性质：范围、对称性、焦点、离心率、准线、渐近线．☆基础演练
1．如图，椭圆中心为O，A、B为左右顶点，F为左焦点，
左准线l交x轴于C，点P、Q在椭圆上，PD⊥l于D，
QF⊥OA于F．给出下列比值：
其中为离心率的有_________________．
2．若
12
,F F为椭圆
22
1
25
x y
m
+=的焦点，且
12
8
F F=，则m的
值为．
3．过抛物线的焦点F作直线交其于A、B两点，A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、
B1，则
11
A FB
∠=____________．
4．经过两点()
143
,,
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
的圆锥曲线的标准方程是________________．
5．过双曲线
22
22
1
x y
a b
-=的右焦点F作一条渐近线的垂线分别交于A、B两点，O为坐标
原点，若OA、AB、OB成等差数列，且BF,FA
u u u r u u u r
同向，则离心率e=_________．
6．椭圆
22
1
2516
x y
+=的两个焦点为F1、F2，弦AB过F1，若
2
ABF
∆的内切圆周长为π，
()()
1122
A x,y,
B x,y，则
12
y y
-=____________．
☆典型例题
1．椭圆的定义
例1．如图，已知E,F为平面上的两个定点，G为动点，
610
EF,FG,
==点P为线段EG的中垂线与GF的交点．
⑴建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程；
⑵若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB
的中垂线与EF（或EF的延长线）相交于一点C，线段EF
的中点为O，证明：
9
5
OC<．
2．中点弦问题
例3．直线l交椭圆
22
1
2016
x y
+=于M,N两点，点()
04
B,，若⊿BMN的重心恰为椭圆
右焦点，则直线l的方程是_________________．
3．椭圆的几何性质
例2．已知
1
F、
2
F分别是椭圆()
22
22
10
x y
a b
a b
+=>>的左右焦点，右准线l，离心率e．
⑴若P为椭圆上的一点，且
12
F PF
∠=θ，则
12
PF F
S
∆
=_____________．
⑵若椭圆上存在一点P，使得
12
PF PF
⊥，则e的范围是_____________．
⑶若椭圆上存在一点P，使得
12
PF ePF
=，则e的范围是_____________．
⑷若在l上存在一点P，使得线段
1
PF的中垂线经过
2
F，则e的范围是___________．
⑸若P为椭圆上的一点，线段
2
PF与圆222
x y b
+=相切于中点Q，则e=________．
⑹过F且斜率为k的直线交椭圆于A、B两点，且3
AF FB
=
u u u r u u u r
,若
2
e=，则k=___．
4．最值问题
例4．已知动点P在椭圆
22
1
1612
x y
+=上，(,(2,0)
A B．
⑴若2
PA PB
+取最小值，则点P的坐标为____________；
⑵若动点M满足||1
BM=
u u u u r
，且0
PM BM=
u u u u r u u u u r
g，则|
|的最小值是；
⑶PA PB
+的取值范围是________________________．
例5．椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
3
两条准线间的距离为6．椭
圆W的左焦点为F，过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W
交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C．
⑴求椭圆W的方程；⑵求证：CF FB
λ
=
u u u r u u u r
；⑶求MBC
∆面积S的最大值．
☆方法提炼
1．椭圆的标准方程有两种形式，有时需要就焦点位置进行讨论．
2．椭圆有两种定义方式，解题时要学会“回到定义去”．
3．椭圆有两个焦点、两条准线，解题时建议联系起来考虑．
4．解解析几何问题，“画个图”是个好建议；中点弦问题利用“点差法”可简化运算．
5．在处理直线与椭圆相结合的问题时，要学会利用韦达定理整体处理．
P
H
E F
G
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