初三数学锐角三角函数通用版【本讲主要内容】锐角三角函数包括：正弦、余弦、正切。

【知识掌握】 【知识点精析】1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。

即c aA A sin ==斜边的对边∠；把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即c bA A cos =∠=斜边的邻边；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即b aA A A tan =∠∠=的邻边的对边。

2. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。

3. 特殊角的三角函数值：30°45°60°sin α 12 22 32 cos α 32 2212tan α331 34. 记忆方法：【解题方法指导】例1. （2000年成都市）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，D 是AC 的中点，那么tan ∠DBC 的值是________。

锐角α三角函数分析：在Rt △ABC 中，由∠ABC ＝60°，可知3BCAC60tan == ，即AC ＝3BC ，又CD ＝12AC ，tan ∠DBC 可求。

解：在△ABC 中，∵∠C ＝90°，∠ABC ＝60°， ∴tan ∠ABC ＝tan60°＝3BCAC=， ∴AC ＝3BC 。

又D 是AC 中点， ∴DC ＝12AC ＝32BC 。

∴23BC BC23BC DC DBC tan ===∠。

评析：在解题中紧紧扣住tan α的定义。

例2. （2001年四川）在Rt △ABC 中 ，CD 是斜边AB 上的高，已知32ACD sin =∠，那么=ABBC______。

分析：由Rt △ABC 中CD ⊥AB 于D ，可得∠ACD ＝∠B ，由sin ∠ACD ＝23，那么sinB ＝23，设AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝32522-=，则AB BC 可求。

解：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，∴∠ACD ＝∠B 。

又sin ∠ACD ＝sinB ＝23， 可设AC ＝2，AB ＝3，∴BC ＝32522-=。

∴=AB BC53。

评析：这里利用图中相等的角，把sin ∠ACD 转化为sinB ，而sin ∠ACD ＝23，我们设AC ＝2，AB ＝3，求得BC ＝5。

如果更一般化，可设AC ＝2m ，AB ＝3m ，则BC ＝5m ，同样可以求出ABBC的值。

例3. （2004年北京市）已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠B ＝30°，CD ＝6，求AB 的长。

分析：图中有共三个直角三角形，都为应用锐角三角函数的定义创造了条件，已知∠B ＝30°，CD ＝6，则BC ＝12，用cosB ＝ABBC可求得AB ，方法不唯一，可选择不同的方法去做。

解法一：在△BCD 中，∵∠CDB ＝90°， ∠B ＝30°，CD ＝6， ∴BC ＝2CD ＝12。

在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∴cosB ＝ABBC， ∴AB ＝B cos BC＝1230123283cos ==。

解法二：在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴∠ACD ＝∠B ＝30°。

∴cos ∠ACD ＝ACCD， ∴AC ＝ACD cos CD∠＝632＝43。

在△ABC 中，sinB ＝ABAC， ∴AB ＝382134Bsin AC ==。

评析：此图是双垂直图形，直角本角形多，相等的角也多，可以用不同的思路去解。

【考点突破】【考点指要】锐角三角函数可以把直角三角形边之间的比转化为角的度数，因此作为一种解题工具，有着广泛的应用价值。

无论是解直角三角形，还是有关几何图形的计算，都常常利用锐角三角函数加以解决。

正因为锐角三角函数是一种解题工具，因此在中考时加大了检查的力度，我们应该熟练地掌握它，并学会应用。

【典型例题分析】例1. （2002年北京市海淀区）如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，EC ＝1，sinB ＝513。

求四边形ABCD 的周长。

分析：由菱形的特征可知AB ＝BC ，由EC ＝1，可没法找到BE 与EC 的联系，即EC ＝BC －BE ＝AB －BE ＝1，可列出方程求解。

解：在Rt △ABE 中，∵∠AEB ＝90°，sinB ＝513＝ABAE ， ∴设AE ＝5k ，AB ＝13K 。

∴BE ＝k 12)k 5()k 13(AE AB 2222=-=-，又AB ＝BC ＝13k ，∴BC －BE ＝AB －BE ＝EC ， ∴13k －12k ＝1，k ＝1 ∴AB ＝13，周长为52。

评析：此题图形并不复杂，但考查的知识却不少，而且通过设参数列出方程求解，很有寓意。

因此在解题中，善于抓住直角三角形，把∠B 的正弦与两边的比建立联系。

例 2. （2005年沈阳市）如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB ＝32，AC ＝23。

则AB ＝____。

分析：设法使∠B 处于一个直角三角形中，以便于应用tanB ＝32的条件。

可作CD ⊥AB 于D 。

求出AD ，再求出DB ，则AB 可求。

解：作CD ⊥AB 于D 。

∵∠A ＝30°，AC ＝23， ∴CD ＝3AC 21=，∴AD ＝3CD AC 22=-。

∵tanB ＝32， ∴23DB 3,23DB CD ==∴， ∴DB ＝2。

∴AB ＝AD+DB ＝3+2＝5。

评析：遇到某个角的三角函数值后，设法“回忆题”，使它处于某一个直角三角形中，从而应用三角函数的定义解题。

例3（2005年沈阳市）在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2。

∠B ＝30°，则∠BAC 的度数是_____。

分析：先画一个草图，找到条件中线段、角所处的位置，然后再考虑到有无特殊情况。

比如，图1中的△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2，∠B ＝30°，作AD 垂直于直线BC 于D ，则AD ＝1212AB AC ==。

，则可求出∠DAB ＝60°，∠DAC ＝45°（由2221AC AD DAC cos ===∠），则∠BAC ＝60°－45°＝15°。

还有没有其他情况呢？图2中的钝三角形也符合条件。

∠BAC ＝60°+45°＝105°。

解：作AD ⊥直线BC 于D 。

则有两种可能（如图1，图2）。

当垂足D 落在BC 延长线上时（图1）， ∵∠B ＝30°，AB ＝2，∴AD ＝1。

∠DAB ＝180°－90°－30°＝60°。

又2221AC AD DAC cos ===∠， ∴∠DAC ＝45°。

∴∠BAC ＝∠BAD －∠CAD ＝60°－45°＝15°。

当垂足D 落在BC 边上时（图2）。

则∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°， ∴∠BAC ＝60°+45°＝105°。

因此∠BAC 的度数为15°或105°。

评析：进行分类讨论是一种思维严谨的表现，要结合已知条件把可能出现的情况一一考虑，不要漏解。

例4. 在Rt △ABC 中，若两条直角边a 、b 分别都扩大2倍，则锐角B 的各三角函数值（ ）（A ）都扩大2倍 （B ）没变化（C ）都缩小2倍 （D ）只有正切没有变化分析：若两直角边a 、b 都扩大2倍，斜边也扩大2倍。

则两直角边分别为2a 、2b 。

由锐角三角函数的过义去判断。

解：设Rt △ABC 的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c 。

则扩大后的三角形a 为2a ，b 为2b ，则。

c 2)b 2()a 2(c 22=+=∴.aba 2b 2a b B tan ,c ac 2a 2c a B cos ,c bc 2b 2c b B sin =========∴三角函数没有变化，故选（D ）。

评析：实际上当两条直角边扩大2倍后，得到的直角三角形与原三角形相似，角度没有变化，因此三角函数值没有发生变化。

例5. 若α是一个锐角，求证：sin 2α+cos 2α＝1。

分析：设法构造一个直角三角形，再由三角函数定义去推。

解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ， AC ＝B ，AB ＝C ，设∠A ＝α，则sin α＝ a c b c,cos .α=。

∴sin cos ()()2222222αα+=+=+a c b c a b c 。

∵a 2+b 2＝c 2，∴sin cos 22222221αα+=+==a b c c c。

评析：应用锐角三角函数的定义及勾股定理，得到这个结论。

例6. 化简： 60tan 1)160(sin 2-+-。

分析：这是两个非负数，结果不能出现负数，当去掉根号和绝对值符号后，要使结果中出现大减小。

解：。

原式∴。

23132********tan 1231)123()160(sin 22=---=-=-=--=-=-评析：在遇到非负数的问题时，注意结果中不能出现负数。

例7. （2002年北京市西城区）如果α是锐角，且sin 2α+cos 235°＝1。

那么α＝_____度。

分析：由sin 2α+cos 2α＝1，得知α＝35°。

解：由例5推导的公式sin 2α+cos 2α＝1，即sin 2α+cos 235°＝1，∴α＝35°。

评析：这是同角的三角函数的一个关系式，必要时可以推。

【综合测试】1. 已知等腰三角形的一个底角为75°，则顶角的余弦值为_______。

2. 在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，则下列结论成立的是（ ）。

（A ）sinA ＝45（B ）cosA ＝53（C ）tanA ＝34（D ）tanA ＝453. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝32AB 2 ，，设∠BCD ＝α，那么cos α的值为（ ）。

（A ）22（B ）2 （C ）33（D ）634. 计算：sin45°·cos45°+tan45°·tan30°·tan60°＝_______。

5. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，如果BC ＞AC ，那么cosA 与cosB 的大小关系是_____。