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文档之家› 人教版九年级数学下册锐角三角函数
人教版九年级数学下册锐角三角函数
a c
;
斜边 c
A ∠A的邻边
B
∠A的对边 a C b
课堂小结
2.概念中应该注意的几个问题: (1)sin A是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结 合,构造直角三角形); (2)sin A是一个完整的符号,如sin A表示∠A的正弦,习惯 省去“∠”号; (3)sin A是一个比值,注意比的顺序.
第二十八章锐角三角函数
28.1锐角三角函数
第1课时
学习目标
理解锐角正弦的概念及表示方法.根据定义会求出 一个锐角的正弦值.
情境导入
情境导入
意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜,其塔顶中点偏 离垂直中心线2.1 m.1972年比萨地区发生地震,这座高54.5 m 的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立,但塔顶中心点偏离垂直中 心线增至5.2 m,而且还以每年增加1 cm的速度继续倾斜,随 时都有倒塌的危险.为此,意大利当局从1990年起对斜塔维修 纠偏,2001年竣工,此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比 纠偏前减少了43.8 cm.
课堂练习
. 4.如图,△ABC中,AB=AC=6,BC=4,求sin B的值.
解:过点A作AD⊥BC于点D,
∵AB=AC,
∴BD=2.
在Rt△ADB中,由勾股定理,知
AD= AB2 BD2 62 22 4 2
∴sinB= AD 2 2
D
AB 3
课堂小结
1.正弦的概念.
sin
A
A 的对边 斜边
B 10
6
AC AB2 BC 2 102 62 8 .
A
C
因此
sin
A
BC AB
6 10
3 5
.
课堂练习
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则
12 sinA= 13 .
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC∶AC=1∶2,
5
则sin A= 5 .
课堂练习
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,b=20,c=20 2,则∠B 的度数为 45° .
2
对边与斜边的比都等于 2 .
探究新知
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C',使得∠C=∠C'=90°,
∠A=∠A',那么
BC AB
与 BACB有什么关系?你能解释一下吗?
B
B'
A
C
A'
C'
在图中,由于∠C=∠C'=90°,∠A=∠A',所以
Rt△ABC∽Rt△A'B'C' .因此
BC AB BC AB
B
B
3
5
13
A
4
C
(1)
C
(2)
A
分析:求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比;求sinB就是
要确定∠B的对边与斜边的比.
例题解析
解: 如图(1),在Rt△ABC中,由勾股定理得
B AB AC 2 BC 2 42 32 5.
3
因此 sin A BC 3 , A
4
C
AB 5
(1)
sin B AC 4 AB 5
线
系和两个锐角之间的关系,但我们不知道边
角之间的关系,因此,这一问题的解答需要
学习新的知识.
A
探究新知
问题 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿 着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进 行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水 口的高度为35 m,那么需要准备多长的水管?
.
例题解析
如图(2),在Rt△ABC中,由勾股定理得
AC AB2 BC 2 132 52 12 .
因此 sin A BC 5 ,
B
AB 13 5
13
sin B AC 12 .
AB 13
C (2)
A
例题解析
例2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB =10,BC=6,
求sin A. 解:由勾股定理得
探究新知
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜
边的比叫做∠A的正弦,记作sinA 即
sin
A
A的对边 斜边
a c
.
例如,当∠A=30°时,
Байду номын сангаас斜边 c
有sin
A
sin
30
1 2
;
A
b
当∠A=45°时,
有 sin A sin 45
2
2.
B
∠A的对边 a C
例题解析
例1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值.
情境导入
C
垂 直 中 心 线
Ө
B
如果要求你根据上述
塔 信息,用
身 中
“塔身中心线与垂直
心 中心线所成的角Ө”
线 (如图)来描述比萨斜
塔的倾斜程度,你能完
成吗?
A
情境导入
C
垂 直 中 心 线
Ө
B
从数学角度看,上述问题就是:已知直
塔 身
角三角形的某些边长,求其锐角的度数,对
中 心
于直角三角形,我们已经知道三边之间的关
准备多长的水管?
B' B
50 m
A 的对边 斜边
=
BC AB
1 2
A
C C'
AB' =2B' C' =100 m.
结论:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么无论这个
1
直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于 2.
探究新知
如图,任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°, A
∠A=45°,计算∠A的对边与斜边的比 BC ,由 AB
B
A
C
探究新知
B
A
C
分析:这个问题可以归结为,在Rt△ABC中,
∠C=90°,∠A=30°,BC=35 m,求AB.
根据“在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边半”,
即
A的对边 斜边
BC AB
1, 2
可得AB=2BC=70 (m),需要准备70 m长的水管.
探究新知
在上面的问题中,如果使出水口的高度为50 m,那么需要
角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于2 .
2
探究新知
综上可知,在Rt△ABC中,∠C=90°,当∠A=30°
时,∠A的对边与斜边的比都等于 1 ,是一个固定值;当
2
∠A=45°时,∠A的对边与斜边的比都等于 2,也是一个
固定值.
2
思考:一般地,当∠A 是任意一个确定的锐角时,它的 对边与斜边的比是否也是一个固定值呢?
BC BC AB AB
探究新知
这就是说,在Rt△ABC中,当锐角A的度数一定时,无论这 个直角三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都是一个固定 值.并且在直角三角形中,一个锐角的度数越大,它的对边与斜 边的比值也越大.
探究新知
因此
BC AB
BC 1 2 . 2BC 2 2
A
C
B
即在直角三角形中,当一个锐角等于45°时,无论这个直
此你能得出什么结论?
C
B
在Rt△ABC中,∠C=90°,因为∠A=45°,所以
Rt△ABC是等腰直角三角形.由勾股定理得
AB2 AC 2 BC 2 2BC 2 ,
AB 2BC.
探究新知
因此
BC AB
BC 1 2 . 2BC 2 2
A
C
B
即在直角三角形中,当一个锐角等于45°时,
无论这个直角三角形的大小如何,这个角的