锐角三角函数中考要求重难点1．掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊三角函数值；2．知道锐角三角函数的取值范围以及变化规律；3．同角三角函数、互余角三角函数之间的关系；4．将实际问题转化为数学问题，建立数学模型．课前预习“正弦”的由来公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献．尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了．三角学中“正弦”和“余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表．托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的．印度数学家不同，他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是“全弦表”，而是“正弦表”了．印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为“吉瓦”，是弓弦的意思；称AB的一半(AC) 为“阿尔哈吉瓦”．后来“吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为“弯曲”、“凹处”，阿拉伯语是“dschaib”．十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了“sinus”．三角学输入我国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学．在《大测》中，首先将sinus译为“正半弦”，简称“正弦”，这就成了正弦一词的由来．例题精讲模块一 三角函数基础一、锐角三角函数的定义如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．（1）正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c=． （2）余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b=． 注意：① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．二、特殊角三角函数这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住！三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan aA b=，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，．四、三角函数关系a A1．同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A= 2．互余角三角函数关系：(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-． 3．锐角三角函数值的变化规律：(1)A 、B 是锐角，若A >B ，则sin A >sin B ；若A <B ，则sin A <sin B(2) A 、B 是锐角，若A >B ，则cos A <cos B ；若A <B ，则cos A >cos B (3) A 、B 是锐角，若A >B ，则tan tan A B >；若A <B ，则tan tan A B <【例1】 如图，在Rt ABC ∆中，ACB ∠=90，CD AB ⊥于D ，则sin A =()AC=()BC，sin B =()CD=()AC，sin DCB ∠=()()，sin ACD ∠=()()，tan A =()AC =()CD ，tan B =()CD =()AC．【巩固】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，sin A =23，AB =9，则BC = ． 【例2】 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ）． A．sin A =B ．1tan 2A = C．cos B D．tan B【巩固】（2011江苏连云港）如图，ABC △的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =______．DCBACCBA【例3】 （2011山东烟台）如果ABC △中，sin A =cos B ，则下列最确切的结论是（ ） A ．ABC △是直角三角形 B ．ABC △是等腰三角形 C ．ABC △是等腰直角三角形 D ．ABC △是锐角三角形【巩固】已知α为锐角，且1cos(90)2α︒-=，则α的度数是（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒【巩固】在ABC △中，A ∠、B ∠都是锐角，且sin A =12，cos B ，则ABC △是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定【例4】 ABC ∆中，a b c 、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边。

已知a =b =c =，则sin sin b B c C +的值等于 ．【例5】 已知cos1930'︒=09426．，则sin7030'︒= ．【巩固】在ABC △中90C ∠=︒，若sin A +cos B A ∠等于（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒【例6】 若A ∠的补角是A ∠的3倍，则sin A = ． 【巩固】α∠的补角是120°，则α∠=______，sin α=______． 【例7】 α为锐角，且满足sin 3cos αα=，求sin cos αα⋅的值．【巩固】若α∠为直角三角形中的一个锐角，tan 3α=，则cos α=______． ．模块二 比较大小【例8】 比较下列各式的大小．（1）sin53︒和cos53︒；（2） 当A ∠是锐角时，sin A 和tan A【巩固】(2011广东茂名)如图，已知：4590A ︒<<︒，则下列各式成立的是（ ）A ．sin cos A A =B ．sin cos A A >C ．sin tan A A >D ．sin cos A A <模块三 化简求值【例9】 求下列各式的值：（1）22cos 302sin60cos45︒-︒︒； （2）22211cos 45cos 30sin 45cos60sin90︒-++︒+︒︒︒【巩固】计算（1）2cos 45tan60cos30︒+︒⋅︒； （2）sin60tan 45cos30︒-︒︒【例10】 已知3tan 4α=，且α为锐角，求sin cos 1cot 1tan αααα+--的值．C BA模块四 三角函数与代数综合【例11】 已知：sin cos sin cos m n αααα+=-=，，则m n ，之间的关系是（ ） A ． m n = B ． 21m n =+ C ． 222m n =- D ． 212m n =-模块五 三角函数与几何综合【例12】 （2011江苏南京）如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos AOB ∠的值等于_________．【例13】 如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BD 相交于点P ，若DPB ∠=α，那么CDAB等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．tan α D ．1tan α【例14】 （2011安徽芜湖中考）如图，直径为10的A 经过点(0,5)C 和点(0,0)O ，B 是y 轴右侧A 优弧上一点，则OBC ∠的余弦值为( )． A ．12 B ．34CD ．45【例15】 如图，在ABC △中，AD 是BC 边上的高，tan cos B DAC =∠（1） 求证：AC BD = （2） 若12sin 13C =，12BC =，求AD 的长．OBx【巩固】如图，一块三角形土地，已知两边长与夹角，求这块土地的面积．（精确到12cm ，参考数据：sin500.7660︒≈）【例16】 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，A B ∠<∠，沿Rt ABC ∆的斜边AB 上的中线CM 将CMA △折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tan A 的值为 _________．课堂检测1． 直角三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos A 的值是（ ） A ．34 B ． 43 C ． 35D ． 45 2． 在ABC △中，若()2sin 1tan 0A B -+-=，则C ∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．75︒ D ．105︒ 3． 已知α为锐角，且2cos 3α=，则α的取值范围是 ( ) A ．030α︒<<︒ B ．3045α︒<<︒ C ．4560α︒<<︒ D ．6090α︒<<︒课后作业1． （2011安徽芜湖）计算： 2011315(1)()(cos68)38sin 602π---+︒+︒+︒50°60cm80cmMDB CAA2． （2011甘肃兰州）已知α是锐角，且sin(15)α+︒=0114cos ( 3.14)tan ()3απα---++的值．3． 已知cos 0.5α<，那么锐角α的取值范围是（ ）A ．6090α︒<<︒B ．060α︒<<︒C ．3090α︒<<︒D ．030α︒<<︒4． （2011贵州安顺）如图，点(0,4),(0,0),(5,0)E O C 在A 上，BE 是A 上的一条弦，则tan OBE∠= ．5． 如图所示，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，45A ∠=︒，点D 在AC 上，60BDC ∠=︒，1AD =，求BD 、DC的长．xDC BA。