故
x n 1 x n x n x n 1
r 1 ，由正项级数的比值判别法， ( x n x n 1 ) 绝对收敛，必收敛，所
n
以由 x n 3. (20 分)
(x
x n 1 ) x1 ，数列 {xn } 收敛.
f ( x 0 h) f ( x 0 h) . 2h

证明：只需证
b a
b
a
f ( x) g ( x)dx f ( ) g ( x)dx .
a
b
f ( x) g ( x)dx

b
a
g ( x)dx
f ( ) 即可，由已知条件，此式满足柯西中值定理的条
件，故由柯西中值定理可得

b

f ( x) g ( x)dx f ( x) g ( x)dx
则 F ( x) 在 [ a, b] 上连续，因而一致连续. 续，因而 f ( x) 在 ( a, b) 上一致连续.
(a, b) [a, b] ，于是 F ( x) 在 (a, b) 上也一致连
只证 lim f ( x) 存在，即 f (a 0) 存在.
xa 0
由已知， 0, 0, x1 , x 2 ( a, b), x1 x 2 时， f ( x1 ) f ( x 2 ) ，于是
a
所以
f (0)
7. (20 分)
1 a f ( x) dx f ( x) dx a 0
f ( x) 0, f ( x) 在[a,b]上连续,
b a

b
a b
f ( x)dx 1 ,证明
( f ( x) cos kxdx) 2 ( f ( x) sin kxdx) 2 1 .
x1 , x 2 (a, a ) 有 f ( x1 ) f ( x 2 ) .
由极限存在的柯西准则， lim f ( x) 存在.同理可证 lim f ( x) 存在.
xa 0 x b 0
5. (20 分)
已知 f ( x) , g ( x) 在[a,b]上连续,且 g ( x) 0 ,证明存在 ( a, b), 使
2007 数学分析
1. (20 分)
lim
nn n 3 n n!
解：令 a n
nn ，因为 3 n n!
lim
a n 1 n a n
( n 1) n 1 1 1 1 3n 1 ( n 1)! lim lim (1 ) n e n n n 3 n 3 n n 3 n!
a
证明：
( f ( x) cos kxdx) 2 ( f ( x) sin kxdx) 2 f ( x) cos 2 kxdx f ( x)dx f ( x) sin 2 kxdx f ( x)dx
a a a a a a
b
b
b
b
b
b
f ( x)(sin 2 x cos 2 x)dx f ( x)dx
b a a
b
b
a a
b
b
( f ( x)dx) 2 1
a
b
8. (10 分)
若 f ( x) 在[a,b]上可积, F ( x) f ( x) ,证明

b
a
f ( x)dx F (b) F (a ) .
证明：由已知，

b
a
f ( x)dx F ( x)dx 1dF ( x) F ( x) a F (b) F (a )
4. (20 分)
f ( x) 在(a,b)连续,证明 f ( x) 在(a,b)一致连续的充要条件是
xa 0
lim f ( x), lim f ( x) 存在.
x b 0
证明： 设
xa f ( a 0) F ( x) f ( x) x ( a, b) f (b 0) xb
已知 f ( x) 在 x 0 可导,求 lim
h 0
解： lim
h 0
f ( x 0 h) f ( x 0 h) f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x 0 h) lim h 0 2h 2h
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 h) f ( x 0 ) lim h 0 h 0 2h 2h 1 1 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 2 2 lim
a

b
a
g ( x)dx g ( x)dx
a
a a

f ( ) g ( ) f ( ) . g ( )
6. (20 分)
a 0, f ( x) 在[0,a]上可导连续,证明 f (0)
1 a f ( x) dx f ( x) dx . a 0
证明：由已知条件， (0, a ) ，使
所以
an 收敛，所以 lim
n 1

nn 0. n 3 n n!
2. (20 分) 证明：因为
f ( x) 可微, r 1, f ' ( x) r , x n f ( x n 1 ) ,证明:数列 {xn } 收敛.
x n 1 x n f ( x n ) f ( x n 1 ) f ( ) x n x n 1 r x n x n 1 , ( x n 1 , x n ) ,
f ( x)dx af ( )
0
a
所以
f ( )
又
1 f ( x)dx a 0

a
f (0) f ( x)dx f ( )
0 0
1 f ( x)dx f ( x)dx a0
a
f ( x)dx
0
a
1 f ( x)dx a 0