长安大学
2007 年硕士研究生入学考试试题(A)
试题代码：608 试题名称：数学分析 共2页 (9 分) 第1页
1、设 f ( x) = x( x − 1)( x − 2)L ( x − 25), 求 f ′(0) 和 f ′(1) . 2、求积分
∫
1
0
dy ∫ (e − x + e y sin x)dx.
n →∞
（3）若条件改为 0 ≤ f ( x ) < x ， x ∈ (0,+∞ ) ，则 t = 0 . （14 分）
试题代码：608 试题名称：数学分析
答案必须写在答题纸上，写在试题或草稿纸上不给分。
共2页
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7、设
xy , x2 + y2 ≠ 0 2 p 2 f ( x, y ) = (x + y ) 0, x2 + y2 = 0
（1） [ a , b ] ， n = 1, 2,...,... 且 ∑ u n (b ) 发散,那么 ∑ u n ( x ) 不在
n =1 n =1
∞
[ a , b ) 一致收敛.
（2） 函数 f ( x) 满足: (1)在 [a, b] 上连续; (2) 在 (a, b) 上可导; (3) 非线性函数. 则存在一点 c ∈ (a, b) 使得
( p > 0) ，
试讨论函数在 (0,0) 处的连续性.
(14 分)
8、设 y = arcsin x ，验证它满足以下方程:
(1 − x 2 ) y ( n + 2) − (2n + 1) xy ( n +1) − n 2 y ( n ) = 0 (n ≥ 0). (14 分)
9、设周期为 2π 的可积函数 ϕ (x ) 与 φ ( x ) 满足关系式：ϕ (− x ) = −φ ( x ) ，给出 ϕ (x ) 的 Fourier 系数 a n , bn 与 φ ( x ) 的 Fourier 系数 α n , β n 之间的关系. (14 分) 10、 计算曲线积分
6、设 f 在 [0,+∞ ) 上连续， 满足 0 ≤ f ( x ) ≤ x ，x ∈ [0,+∞ ) ， 设 a1 ≥ 0, a n +1 = f (a n ) ， n = 1,2, L ，证明： （1） {a n }为收敛数列； （2）设 lim a n = t ，则有 f (t ) = t ；
2
1
（10 分） （10 分）
y
1 3、应用 Taylor 公式计算 lim x − x 2 ln(1 + ) . x →∞ x
4、证明：若 f 在 [a, b] 上连续增，
x 1 f ( t ) dt , F ( x ) = x − a ∫a f (a),
| f (c) |> f (b) − f (a ) . b−a
答案必须写在答题纸上，写在试题或草稿纸上不给分。
x ∈ ( a, b ] x=a
，
则 F ( x ) 为 [a, b] 上的单调增函数.
（11 分）
5、设 f ( x) 在 [a, b] (0 < a < b) 上连续, 在 (a, b) 内可微. 求证存在 c ∈ (a, b) 使得 b 1 b − a f (b) a = f (c) − cf ′(c). f (a ) （11 分）
∫
11、 计算 I=
C
xdy − ydx , x2 + 4 y 2 (15 分)
其中 C 为任意一条不通过原点的简单光滑正封闭闭曲线.
∫∫ xzdydz + yxdzdx + zydxdy,
S
其 中 S 是 柱 面 x2 + y 2 = 1 在
(15 分)
∞
−1 ≤ z ≤ 1 和 x ≥ 0 的部分, 曲面侧的法向与 X 轴正向成锐角. 12、 下列两题中选作一题（13 分）