2007 ～2008 学年第一学期 《数学分析（一）》课程考试试卷(A 卷)(闭卷)院(系) _经济学院___专业班级__________学号_________ 姓名__________考试日期: 2008-1-17 考试时间: 19：00—21：30一. 填空题（每小题3分，共30分） 1.=⎰dx x x2sin C x x x ++-|sin |ln cot .2. 曲线233x x y +-=的拐点是 （1，2）.3. )11(tan )cos 1(lim42220-+-→x x x e x x =___2__.4. 设x x y 44cos sin +=，则)(n y )(+∈N n =)24cos(41πn x n +-. 5. 设1)(2++=x x x f ，在[0,2]上用Lagrange 中值定理，则中值ξ=_1__. 6. Riemann 函数在每个有理点都间断，在每个无理点都连续. 7. 设,021k b b b <<<< 则n nk nnn b b b +++∞→ 21lim =k b .8. 设2211x x xy -+=， 则=dy dx x x x y )121(4-+. 9. 函数x x x u sin 1tan 1)(--+=当0→x 时的无穷小主部是x .10. 设)(x f 在+R 内可微且4)]()(2[lim ='++∞→x f x f x ，则=+∞→)(lim x f x 2二. 举例说明下列命题是错误的(每小题3分，共15分. 需要简单说明)1．非常值周期函数必有最小正周期.Direchlet 函数. 因为任意正有理数都是它的周期.2．设函数)(x f 在区间I 上有间断点，则)(x f 在I 上不存在原函数.⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1cos 21sin 2)(22x x xx x x x f ，在x=0处间断，但在任何区间)0(I I ∈上有原函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(22x x x x x F . 3. 设函数)(x f 在),0[+∞上有定义，且在),0(+∞内有0)(>'x f ，则对一切的0>x ，有)0()(f x f >.只要在x=0处不右连续的函数即可说明.4. 若()f x 在(,)a b 内可导，且()()f a f b =，则必存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=.函数)10(,)(<≤=x x x f ，0)1(=f .5. 若数列}{n x 满足：,,0N ∃>∀ε 当N n >时有ε<-+||1n n x x ，则}{n x 为基本数列.发散数列nx n 1211+++= ，},1][,1max{,01-=>∀-εεN 取 :N n >∀则 ε<+=-+11||1n x x n n .三. 计算题（每小题6分，共18分）1. 求不定积分⎰dx ex x.解： 令x t =，（1分）则⎰⎰=dt e t dx e x t x22 （3分）⎰-=dt te e t t t 422 （4分）C e te e t dt te e t tt t t t ++-=-=⎰4424222. 6分2. 求极限()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---+∞→1lim 412x e x x x x .解：原式()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+++-=--+∞→))(211())(2111(lim 442222x o x x x o x x x x x 3分.21)(212121lim 22-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=+∞→x o x x x 6分3．求极限.lim )1(0-→+xxx x解：因为ln 00lim(1)ln lim(1)ln x x xx x x x e x ++→→-=-2)(ln lim x x x +→=20ln lim 01x xx+→=== 4分所以.1lim lim 0ln )1(0)1(0===-→-→++e e x xxx xx xx6分四. （每小题6分，共12分）1．用极限的定义证明32121lim 221=---→x x x x .证：对1≠x ，有|12|3|1|)12(31321213212122+-=++-=-++=----x x x x x x x x x 2分限制1|1|0<-<x ，则1|1|23|3)1(2||12|>--≥+-=+x x x ， 4分对0>∀ε，取}3,1m i n{εδ=，则当δ<-<|1|0x 时，ε<----3212122x x x . 由极限的定义，32121lim 221=---→x x x x . 6分2. 证明2sin x 在),0[+∞上不一致连续. 证：取N n n x n x n n ∈=+=,2,22"'πππ， （3分） 则0)(lim "'=-∞→n n n x x ，但01))2sin()22(sin(lim ))()((lim "'≠=-+=-∞→∞→πππn n x f x f n n n n . 5分故，证明2sin x 在),0[+∞上不一致连续. 6分 五. 应用题 (7分)某商店每天向工厂按出厂价每件3元购进一批商品零售。

若零售价定为每件4元，估计销售量为400件；若一件售价每降低0.05元，则可多销售40件。

问每件售价应定为多少和从工厂购进多少件时，才可获得最大利润？最大利润为多少元？（假设销售量等于进货量）解：设利润为L ，进货量为x 件，售价为P 元/件，则利润为x P L )3(-=. （1分） 据题意进货的增加量与售价的降低量是成比例的，其数量关系如下表：由表，与是线性函数关系，由直线方程的两点式得该函数的表达式为P x 8003600-=，（2分）所以 108006000800)8003600)(3()(2-+-=--=P P P P P L ，（3分）由060001600)('=+-=P P L ，解得P =3.75 . 又由于01600)("<-=P L ，故P =3.75元是极大值点，也是最大值点。

（5分）这就是说，当定价为每件3.75元时，且进货量为600|)8003600(|75.375.3=-===P P P x （件），（6分）则每天能获得最大利润为450|)108006000800(|)(75.3275.3=-+-===P P P P P L （元）。

（7分）六. 证明题（每小题6分，共18分）1．利用闭区间套定理证明实数集是不可列集.证：用反证法. 假设实数集R 是可列集，即可以找到一种排列的规则，使},,,,{21 n x x x R =. （1分）先取闭区间],[11b a ，使得],[111b a x ∉，然后将],[11b a 三等分. 则在闭子区间]32,[111b a a +，]32,32[1111b a b a ++， ],32[111b b a +中至少有一个不含有2x ，把它记为],[22b a . （3分） 再将],[22b a 三等分，同样，在其三个闭子区间中至少有一个不含有3x ，把它记为],[33b a .这样的步骤可一直做下去，于是得到一个闭区间套]},{[n n b a ，满足 ,3,2,1],,[=∉n b a x n n n . （5分）由闭区间套定理，存在唯一的实数c 属于所有的闭区间],[n n b a ，即是说，),3,2,1( =≠n x c n ，这就与集合},,,,{21 n x x x 表示实数集R 产生矛盾. 6分2. 设导函数)(x f '在区间),1[+∞上连续，在),1(+∞内恒有0)(≥''x f . 若2)1(,1)1(='-=f f ，证明)(x f 在),1(+∞内有唯一零点.证：由已知和Taylor 公式，对1>x ，存在),1(x ∈ξ使得 32)1(21)1(2)()1)(1()1()(2-=-+-≥-''+-'+=x x x f x f f x f ξ. 2分于是1)2(≥f . 由零点定理，)(x f 在)2,1(内有零点，从而在),1(+∞内有零点. 4分 为证明唯一性，仅需证明)(x f 在),1(+∞内严格单调. 其实，由)(x f '在区间),1[+∞上连续和在),1(+∞内恒有0)(≥''x f ，得知02)1()(1>='>'>∀f x f x 有. 此表明)(x f 在),1(+∞内严格单调递增.6分3．设)(x f 在],0[c 上连续，在),0(c 内可导且0)0(=f ，)(x f '为x 的递减函数. 证明：对满足条件c b a b a ≤+<<≤0的任何b a ,都有)()()(b f a f b a f +≤+.证：函数)(x f 在[0,a]与[b,b+a]上均满足Lagrange 中值定理的条件，存在),,0(1a ∈ξ ),(2b a b +∈ξ使得)()()(),(0)0()()(21ξξf ab f b a f f a f a f a a f '=-+'=--=4分注意到)(x f '为x 的递减函数，于是)()()()()(21b f b a f f a f a a f -+='≥'=ξξ, 即)()()(b f a f b a f +≤+.6分。