但不是连续的二元函数. 9、举一个偏导数存在，但不可微的二元函数. 10、举一个收敛但不绝对收敛的数项级数.
二、（10分）假设一元函数一阶连续可导.令，计算. 三、（10分）研究一元函数的极值点、零点，并画出草图. 四、（10分）计算积分. 五、（10分）计算积分，
其中S为四面体的边界曲面. 六、（10分）计算二重积分，其中D为圆域. 七、（10分）设函数在区间二阶连续可微，且，，，.证明，. 八、（10分）设，.证明：级数收敛的充分必要条件是级数收敛. 九、（15分）设是上的非负连续函数.对，级数在上一致收敛到.若有限. 证明： （1）收敛，且； (2)若令，则在上一致收敛到. 十、（10分）设为二元连续函数.证明存在两个不同的点，使得. 十一、（15分）（1）设连续，试证明 ， 其中. （2）利用（1）或直接计算积分，其中S是球面 ，且积分是沿球面外侧而取的. 十二、（10分）设为的向量值函数，且满足条件 ，， 这里是上的标准范数.证明可逆，且其逆映射也是的.
则收敛； （2） 如果无界，
则发散。 证明 因为是单调递增的正数列，所 以； ，，是正项级数； （1）如果有界，根据单调有界原 理，存在有限（法一 ，
对任意大的，然后取充分大，就可 使上式成立，于是不是基本列，故 发散。 方法二
因为 ， ， 从而发散。
南京大学2007年数学分析考研试题
一、（30分）举例 1、举一个极限点（凝聚点）在区间上稠密的可数集. 2、举一个有振动间断点的函数. 3、举一个连续但不是一致连续的函数. 4、举一个可逆的可微函数，其逆函数不可微. 5、举一个非零的可微函数，它在某一点的任意阶导数均为零. 6、举一个Riemann不可积的函数. 7、举一个非负函数，它在上积分收敛，但极限不存在. 8、举一个在上定义的二元函数，它分别对于变量，连续，
证明 因为是单调递增的正数列，所 以； ，，是正项级数； （1）如果有界，根据单调有界原 理，存在有限（）， 从而收敛， 由， 得收敛； 或者 由，得 ，有界， 所以收敛。
（2） 如果无界，则有， 方法一 ，
对任意大的，然后取充分大，就可 使上式成立，于是不是基本列，故 发散。
方法二 因为 ， ，从而发散， 若不收敛于1，则发散， 若收敛于1， 则有，（充分大），， 于是发散。 八、2、 设是单调递增的正数列， 证明：（1）如果有界，
九、证明 （1）设，在上连续。 对每一，则有单调递增， 由于对，级数在上一致收敛到，于是在连续，
从而在上收敛于，在连续， 对，有，令，则有，收敛， 但未必有。
反例 级数的每一项都在区间上非负且 连续，
，，
对，数在上一致收敛到，且有， 尽管收敛，但 。
和函数仅在上连续， 在处不连续。
级数在上不一致收敛。
此题条件应改为：设是上的非负连续函数.对，
级数在上一致收敛到，且有限，若。 证明 在上一致收敛到. （2）显然在连续，单调递增，在上收敛于， 根据狄尼定理，知在上一致收敛于。 十、证明 设为连续函数，则对任意，是连续的周期为函数。 令，则有， ， 若，则结论得证； 若，则，由连续函数的零点定理，存在，使得，由此结论的证。 十一、（1）、证明 取新坐标系，其中原点不变，平面即为，轴垂直于 该面，点到平面的距离为； 点在中的坐标为，
南京大学2007年数学分析考研试题解答
二、解 ，， 。
四、解 ，
由, ;
得, ,
, 五、，其中是四面体的边界；
解曲面由四部分组成， ；；
；； ；
； ； 对曲面，， ， ， 故 . 六、解 ， 七、 证明 当时，显然成立； 对任何，有 ，于是。 结果得证。
八、1、设是单调递增的正数列，
证明：（1）如果有界，则收敛； （2） 如果无界，则发散。
选取正交变换 ， ， ，
球域，变换为， 在变量替换下，公式左端的积分可写为
； （2）解 利用高斯公式，知
。
十二、证明 显然，对于任意，，有， 是单射，所以存在， 由，知连续，
由，得 对任意实数向量,有， 在中令，取极限，则有 得，任何,从而必有，可逆， 由隐函数组存在定理，所以存在，且是连续可微的。