正弦定理和余弦定理
一、题型归纳
〈一>利用正余弦定理解三角形
【例1】在△AＢC中，已知a=3,b=2,Ｂ=４5°,求Ａ、C和c。

【例2】设ABC
∆的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且32b＋32c-32a2b c.
(Ⅰ）求ｓiｎA的值;（Ⅱ)求2sin()sin()
44
1cos2
A B C
A
ππ
+++
-
的值。

【练习１】 (201１·北京)在△ABＣ中,若b＝５,∠Ｂ＝错误!，tan A=2，则ｓin A=_______＿；ａ=___＿＿___.
【练习２】在△ABC中,a、ｂ、ｃ分别是角A、B、C的对边，且＼f（cｏs Ｂ，coｓC）=－错误!.
(1）求角B的大小;
（2)若b ＝错误!,a ＋c =4,求△AB Ｃ的面积．
〈二〉利用正余弦定理判断三角形的形状
【例3】1、在△ＡＢC 中，若（ａ2＋b 2）sin （A -B )=(a 2－ｂ２)sin C ,试判断△AB Ｃ的形状.
２、在△ＡB Ｃ中，在ABC ∆中,a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，ｂｃosA=a c ｏs Ｂ,则ABC ∆三角形的形状为___＿____＿___＿_____
３、在△ＡBC 中,在ABC ∆中,a,b,c 分别是角A 、Ｂ、C 所对的边，若c ｏs ＡcosB
=＼f(b,a ） ， 则ABC ∆三角形的形状为＿___＿__＿______＿＿___
【练习】1、在△ABC 中,2cos 22A b c c
+=（,,a b c 分别为角,,A B C 的对边),则△AB Ｃ的形状为（ )
A 、正三角形
B 、直角三角形
C 、等腰三角形或直角三角形 Ｄ、等腰直角三角形
2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02
C x x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是(）
Ａ、直角三角形Ｂ、钝角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形
3、在△ABC 中,2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+,则△ＡBC 的
形状为__＿___＿___
４、在△ABC 中，若＼f （a,cos Ａ)=＼f(b ，cos B ）＝错误!;则△ABC 是( ).
A ．直角三角形 ﻩ
B ．等边三角形
Ｃ．钝角三角形 ﻩD.等腰直角三角形
〈三〉正余弦定理与三角形的面积
【例4】△AB Ｃ中,,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边．如果
c a b +=2，B ∠=30°,△A ＢC 的面积为2
3，那么b =（)
A 、 Ｂ、31+ C D 、32+
【练习】已知ABC △1，且sin sin A B C +=．
(1)求边AB 的长；（2)若ABC △的面积为1sin 6
C ,求角C 的度数．
【例5】设O 是锐角ABC ∆的外心，若 75=∠C ，且COA BOC AOB ∆∆∆，，的面积满足关系:COA BOC AOB S S S ∆∆∆=+3，求A ∠
【练习】已知O 是锐角三角形ABC 的外心,△BOC,△COA ，△A ＯB 的面积满足关系:
COA BOC AOB S S S ∆∆∆=+2
（1）推算tanAtanC 是否为定值？说明理由;
(2)求证:tanA,t ａnB ，tan Ｃ也满足关系：B C A tan 2tan tan =+
<四＞利用正余弦定理解决最值问题
【例6】在△ＡＢC 中，角A,B,C 所对的边分别为ａ，b,c ，设S 为△ABC 的面积，满足()
22243c b a S -+= （１）求角C 的大小;(2)求sin Ａ+sinB 的最大值.
【练习】1、已知锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且
2
223tan b c a ac B -+=; ()1求B ∠;()2求函数()sin 2sin cos f x x B x =+0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的
最大值
2、设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且b c C a =+2
1cos . （１)求角A 的大小;
（2)若1=a ,求ABC ∆的周长l 的取值范围。

〈五＞正余弦定理与向量的运算
【例7】已知向量1(sin ,1),(3cos ,)2
a x
b x =-=-,函数()()2f x a b a =+⋅-．
(1）求函数()f x 的最小正周期T ;
（2)已知a 、b 、c 分别为ABC ∆
内角A 、B 、C 的对边, 其中A 为锐角，4a c ==，且()1f A =,求,A b 和ABC ∆的面积S .
【练习】1、在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．
（１）求证:tan 3tan B A =;（2）若5cos 5C =，求A 的值．
2、在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足
25cos 25
A =,3A
B A
C ⋅=. （I ）求ABC ∆的面积；
(ＩI)若1c =，求a 的值.
二、课后作业:
1、在△ABC 中，b ＝4错误!,C =3０°,ｃ=2,则此三角形有____＿___组解.
2、在△ABC 中，C B C B A sin sin 2sin sin sin 222++=,则A 等于（）
Ａ、60°B 、45° C 、１20 D 、１３5°
3、若(c b a ++)(a c b —+）=bc 3，且C B A cos sin 2sin =， 那么ΔＡBC 是＿＿＿_＿___＿_＿__。

４、在锐角△ＡＢC 中，ＢC ＝１，Ｂ＝2Ａ，则错误!的值等于＿__＿__，AC 的取值范围为__＿__＿__
5、在ABC ∆中，若13
5cos ,53sin ==B A ，则C cos 的值为_____＿＿＿＿ABC ∆的形状为_＿__＿
６、ABC ∆的面积是30,内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,12cos 13
A =。

(１)求A
B A
C ⋅。

(2)若1c b -=,求a 的值。