平面向量题型归纳（全）题型一：共线定理应用例一：平面向量→→b a ,共线的充要条件是（ ）A.→→b a ,方向相 同 B. →→b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→→b a λλλλ变式一：对于非零向量→→b a ,，“→→→=+0b a ”是“→→b a //”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件变式二：设→→b a ,是两个非零向量（ ）A.若→→→→=+b a b a _则→→⊥b aB. 若→→⊥b a ，则→→→→=+b a b a _ C. 若→→→→=+b a b a _，则存在实数λ，使得→→=a b λ D 若存在实数λ，使得→→=a b λ，则→→→→=+ba b a _例二：设两个非零向量→→21e e 与，不共线，（1）如果三点共线；求证：D C A e e e e e e ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。

变式一：设→→21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数k 的值。

变式二：已知向量→→b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（ ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2+=则（ ）A. +=B. +=C. +=D. ++=变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且++=2,那么（ ）A. A =B. A 2=C. A 3=D. A =2变式二：在平行四边形ABCD 中a AB =，b AD =，NC AN 3=,M 为BC 的中点，则=MN ( 用b a ,表示)例二：在三角形ABC 中，c AB =，b AC =,若点D 满足DC BD 2=,则=( )A. ,3132+B. ,3235-C. ,3132-D. ,3231+变式一：(高考题) 在三角形ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分角ACB,=，=21==,则=( )A. ,3231b a +B. ,3132+C. ,5453b a + D. ,5354+变式二：设D,E,F 分别是三角形ABC 的边BC,CA,AB 上的点，且,2=,2=,2=则++,与BC ( )A.反向平行B. 同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直变式三：在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若μλ+=,其,,R ∈μλ则μλ+=变式四：在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,a AC =,b BD =则=( )A.,2141+ B. ,3132+ C. ,4121+ D. ,3231+题型三：三点共线定理及其应用例一：点P 在AB 上，求证：μλ+=且μλ+=1（,,R ∈μλ）变式：在三角形ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 和N,若,m =,n =则m+n=例二：在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 的中点，DE 与AF 交于点H,设,=,=则= A.,5452- B. ,5452+ C. ,5452+- D. ,5452--变式：在三角形ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 是边AC 上一点且AN=2NC,AM 与BN 相交于点P,若,λ=求λ的值。

题型四： 向量与三角形四心 一、 内心例一：O 是∆ABC 所在平面内一定点，动点P满足），【∞+∈++=0λλOA OP ，则点P的轨迹一定通过∆ABC 的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心变式一：已知非零向量AB 与AC满足0=⋅+，且21=⋅，则∆ABC 为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形变式二：⇔=⋅+⋅+⋅P 为∆ABC 的内心二、重心例一：O 是∆ABC 内一点，0=++OB OA OC ，则为∆ABC 的（ ）A.外心B.内心C .重心 D.垂心变式一：在∆ABC 中，G 为平面上任意一点，证明：⇔++=)(31O 为∆ABC 的重心变式二：在∆ABC 中，G 为平面上任意一点，若⇔+=)(31O 为∆ABC 的重心三垂心：例一：求证：在∆ABC 中，⇒⋅=⋅=⋅ O 为∆ABC 的垂心变式一：O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足,R AC AB ∈++=λλ则点P 的轨迹一定通过∆ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心 D .垂心四外心例一：若O 是∆ABC 的外心，H 是∆ABC 的垂心，则OH++=变式一：已知点O ，N ，P 在∆ABC 所在平面内，且==NCNB NA ++=0，⋅=⋅=⋅，则O ，N ，P 依次是∆ABC 的（ ）A. 重心、外心 、垂心B. 重心、外心 、内心C. 外心 、重心、垂心 D . 外心 、重心、 内心 题型五：向量的坐标运算例一：已知A(-2,4),B(3，-1)，C(-3，-4)，且CB CN CA CM 2,3==,试求点M,N 和的坐标。

变式一：已知平面向量向量),23,21(),1,3(=-=b a ,3（-+=t ,t k +-=其中t 和k 为不同时为零的实数，（1）若y x ⊥，求此时k 和t 满足的函数关系式k=f(t);(2)若y x //，求此时k 和t满足的函数关系式k=g(t).变式二：平面内给定3个向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==，回答下列问题。

（1）求23-+；（2）求满足n m +=的实数m,n;(3)若)2//()(k -+，求实数k ；（4）设)//()(),(y x +-=满足且1=-，求。

题型六：向量平行（共线）、垂直充要条件的坐标表示例一：已知两个向量)2,3(),21(-==，,当实数k 取何值时，向量b a k 2+与b a 42-平行？变式一：设向量a,b 满足|a|=52，b=（2,1），且a 与b 反向，则a 坐标为_________例二：已知向量)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===→→→且A,B,C 三点共线，则k=（ ） A:23 B:32 C:32- D:23-变式一：已知),31,(cos ),sin 23(αα==b a ，且a//b ，则锐角α为__________变式二：△ABC 的三内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c 设向量),,(),,(a c a b q b c a p --=+=若q p //，则∠C 的大小为（ ） A:6π B:3π C:2πD:32π题型七：平面向量的数量积例一：（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC =4，则=⋅→→AC AB （ ）A ：-16 B:-8 C:8 D:16（2）(高)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则→→⋅CB DE 的值为______；→→⋅CB DE 的最大值为_______ （3）在△ABC 中，M 是BC 中点，AM =1，点P 在AM 上满足→→=PM AP 2，则)(→→→+⋅PC PB PA 等于（ ） A:94-B:34- C:34 D:94变式一：(高) 如图所示，平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP =3，则→→⋅AC AP =_______变式二：在△ABC 中，AB=1，BC=2，AC=3，若O 为△ABC 的重心，则→→⋅AC AO 的值为________例二：(高)在矩形ABCD 中，AB=2,BC=2,点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2=⋅AF AB ,则⋅的值是变式一：(高)在△ABC 中，090=∠A ,1=AB ,AC=2.设点P,Q 满足R ∈-==λλλ,)1(,,若2-=⋅CP BQ ,则λ=（ ）A:31 B:32 C:34D:2例三：已知向量,,满足,2210====++c b a 则=⋅+⋅+⋅变式一：在△ABC ,643===则=⋅+⋅+⋅变式二：已知向量c b a ,,满足,21,==⊥=++且=变式三：已知向量,,满足,1,,),=⊥⊥-=++且（[[=++2题型八：平面向量的夹角例一：已知向量),0,2(),3,1(-==则与的夹角是例二：已知,是非零向量且满足,)2(,)2⊥-⊥-（则与的夹角是变式一：已知向量c b a ,,,,,21⊥+===则与的夹角是变式二：已知,-==则+与的夹角是变式三：若向量与不共线，,(,0-=≠⋅且则与的夹角是变式四：(高) 若向量βα与,11≤=且以向量βα与为邻边的平行四边形的面积为０.５，则βα与的夹角的取值范围是例二：1,2==，与的夹角为045，求使向量λ+与+λ的夹角为锐角的λ的取值范围。

变式一：设两个向量21,e e 12==，21e e 与的夹角为3π，若向量2172e te +与21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的范围。

变式二：已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列4个命题：);32,0[11πθ∈⇔>+p ];,32(12ππθ∈⇔>+p );3,0[1:3πθ∈⇔>p];,3(14ππθ∈⇔>-p 其中的真命题是（ ）A. 41,p p B. 31,p p C. 32,p p D. 42,p p题型九：平面向量的模长例一：5==，向量与的夹角为3π+-。

变式一：已知向量与221=-==+=变式二：已知向量与,21==与的夹角为3π-=变式三：在△ABC ,60,430=∠==ABC .例二：已知向量与的夹角为32π,133=+==变式一：(高) 已知向量与的夹角为4π,102,1===变式二：设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，162=BC +-=变式三：已知向量)2,1(),4,2(-==，若,)(⋅-=则[[=例三：已知向量),(,βααβα≠≠1=，且αβα与0120-的取值范围是变式一：已知单位向量,,，且=⋅，[[-+≤-⋅-则,0)()(的最大值为变式二：(高)已知直角梯形ABCD 中，AD//BC, 090=∠ADC ,AD=2，BC=1，P 是腰DC 上的 +的最小值为题型十：平面向量在三角函数中的应用例一：在△ABC 中，A,B,C 所对边的长分别为a,b,c ，已知向量)cos 1,(sin ),sin 2,1(A A n A m +==，且满足a cb n m 3,//=+（1）求A 的大小 （2）求)6sin(π+B 的值变式一：已知变量)3cos 3,3(sin ),3cos ,3(cos xx n x x m ==，函数n m x f ⋅=)( （1）求f(x)解析式（2）求f(x)的单调递增区间（3）如果△ABC 的三边a,b,c 满足ac b =2，且b 边所对的角为x ，试求x 的范围和此时f(x)的值域变式二：已知向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-==2,0),23sin ,2(cos ),23sin ,23(cos πx x x b x x a （1）求证a ·b 及|a +b |（2）定义f (x )=a ·b -2m |a +b |,若函数f (x )的最小值为23-，求实数m 的值变式三：在三角形ABC 中，已知→→→→⋅=⋅BC BA AC AB 3 （1） 求证A B tan 3tan = （2）若55cos =C ，求A 的值题型十一：平面向量在解析几何中的应用例题一：设曲线C 上任意一点 ),,)(,(R y x y x M ∈满足向量),2(),,2(y x b y x a +=-=→→且8||||=+→→b a （1）求曲线的方程（2）过点N （0,2）作直线l 与曲线C 交与A ，B 两点，若（O 为坐标原点），是否存在直线l ，使四边形OAPB 为矩形；若存在，求出直线l 的方程；反之，叙述理由。