高二数学《正余弦定理》知识与题型总结1、 正弦定理：_________=_________=_________=2R （R 为____________）变形：________a =；________b =；________c =sinA :sinB:sinC ______________=2、 余弦定理：2______________a =；2______________b =；2______________c =变形：cos ________________A =;cosB ________________=；cosC ________________= 3、 三角形面积公式：（1）12S a h = （2）1sin _________________________2S ab C ===（3）1()2S r a b c =++（r 为内切圆半径）4、常用公式及结论：（1）倍角公式：sin 2__________α=；cos 2_______________________________________α=== tan 2____________α=降幂公式：2sin ____________α=；2cos ____________α=（2）在ABC ∆中，sin()sinC A B +=；cos()cosC A B +=-；tan()tanC A B +=-； （3）在ABC ∆中，最小角的范围为0,3π⎛⎤⎥⎝⎦；最大角的范围为,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭； （4）在ABC ∆中，A B C sinA sinB sinC >>⇔>>；（5）sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b c b a cA B C A B C B A C a b cA B C+++=====+++++=++。

类型一：正余弦定理的综合应用1.在△ABC 中，4a b ＝，＝30A ︒＝，则角B 等于( )．A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2.在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，b ＝6，则△ABC 的外接圆半径为（ ） D.433.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量(3,m =-，(cos ,sin )n A A=，若m n⊥，且cos cos sina Bb A cC +=，则角A ，B 的大小为( )．4.在ABC ∆中，角C B A,,所对应的边分别为c b a ,,，B B A C2sin 3)sin(sin =-+. ）5.ABC ∆各角的对应边分别为c b a ,,，满足，则角A 的范围是（） A6.在△ABC 中，内角A,B,C，C B sin 3sin2=，=（ ）A 7.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.，且b a >，则∠B ＝( )A 8.在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 A ．075,45,10===C A b B．080,5,7===A b a C ．060,48,60===C b a D ．45,16,14===A b a9.已知ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，且()0,2,a x x b A =>==60°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ）A 、02x << C10. 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,223 20cos A cos A ＋＝，76a c ＝，＝，则b ＝（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．511. 在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则 ）12. 在ABC ∆中，若的值为（ ）13. ）A B C D14. 设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c b a ,,成等比数列，则角B 的取值范围是（ ）A 15.若ABC ∆为钝角三角形，三边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是 （ ） （A （B （C （D 16.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C C ab b a c ∠++<则,2cos 2222的可能取值为（ ）.A 17.已知ABC ∆的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉x 米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是 （ ）A ．0<x <5B ．1<x <5C ．1<x <3D ．1<x <418.若锐角ABC ∆中，B C 2=，则 ）（A ）()2,0 （B （C （D 19.设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、，且，, 则的取值范围为（ ） A.B.C. D.20.若ABC ∆的面积为，则角C =__________.21.在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC BC= ． 22.已知角A,B,C 是三角形ABC 的内角,a,b,c 分别是其对边长,向量m =(2√3sin A2,cos 2A2),n =(cos A2,−2),m n ⊥,且2,a cosB ==,则b=________. 23.在ABC ∆中,已知sin sin cos sin sin cos A B C A C B =sin sin cos B C A +,若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边,的最大值为 ． 24. 在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)，C (4,0)，顶点B 1上，则________．25.如右图，在圆的内接四边形ABCD中,090ABC ∠=,0030,45,1,ABD BDC AD ∠=∠==则BC =______.26．在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等比数列.（Ⅰ）若a c +=，60B =,求,,a b c 的值；（Ⅱ）求角B 的取值范围.cos B27.如图，在△ABC 中，ACB ∠为钝角，π2,2,6AB BC A ===．D 为AC 延长线上一点，且31CD =+．（Ⅰ）求BCD ∠的大小；（Ⅱ）求BD 的长及△ABC 的面积．28.如图所示，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且31,3,cos 3AD CD B ===. （1）求△ACD 的面积；（2）若，求的长.29.已知△ABC 的三内角A ， B ， C 所对边的长依次为a ，b ，c ，若43cos =A ，81cos =C ． （1）求c b a ::；（2）若46||=+BC AC ，求△ABC 的面积．30.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--=。

（1）求的大小；（2）若a = 7，求的周长的取值范围．23BC =AB A ABC ∆DCBA类型二：判断三角形的形状1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c,若cos cos a cA C=，则△ABC 的形状是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 2.在ABC ∆中，若c b a +=2，C B A sin sin sin 2⋅=，则ABC ∆一定是A.钝角三角形B.正三角形C.等腰直角三角形D.非等腰三角形 3.△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝Cctan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形4.在ABC ∆中，若22tan tan b a B A =，则ABC ∆的形状是（ ）. A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．等腰三角形 D ． 不能确定5.ABC ∆中，三内角C B A ,,成等差数列，C B A sin ,sin ,sin 成等比数列，则ABC ∆ 的形状是 （ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形6.的形状则已知中在ABC B A b a B A b a ABC ∆+-=-+∆),sin()()sin()(,2222 （ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7.在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若(2)sinC sin B A sin A ＋－＝，则△ABC 的形状为________．8.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为，且A ，B ，C 成等差数列。

（1）若，，求△ABC 的面积；（2）若成等比数列，试判断△ABC 的形状。

类型三：正余弦定理的实际应用1.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是（ ） A ．10m B ．10m C ．10m D ．10m2.某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在A 处获悉后，测得该货轮在北偏东45º方向距离为10海里的C 处，并测得货轮正沿北偏东105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢.我海军护卫舰立即以每小时21海里的速度前去营救；求护卫舰靠近货轮所需的时间.3.如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处． (1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？c b a ,,32=b 2=c C B A sin ,sin ,sin。