竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型.一、两种模型模型1：“轻绳类”绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳类)，即只能沿某一个方向给物体力的作用，如图1、图2所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：(1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没有力的作用，v gR=(2)小球能通过最高点的条件：v gR≥，当v gR>时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力.(3)小球不能过最高点的条件：v gR<，实际上球还没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动.模型2：“轻杆类”有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”，如图4所示，)：(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度0v=(2)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：①当0v=时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N mg=；②当0v gR<<2vmg N mR-=,则2vN mg mR=-.轻杆对小球的支持力N竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是0mg N>>．③当v gR0N=；④当v gR2vmg N mR+=，即2vN m mgR=-，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零.小结如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度v gR应根据具体情况具体分析)．另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的g换成g月，若在其他天体上则把g换成g天体.图1 图2 图3 图4二、两种模型的应用【例1】如图5所示，质量为m 的小球从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A 点的高度h 至少应为多少? 【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是v Rg =临界，根据机械能守恒定律得2122mgh mg R mv =⋅+临界把v Rg =临界代入上式得：min 52h R =．【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电q 、质量为m 且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A 点的高度h 至少应为多少?【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道的最高点B 受到三个力作用:电场力F qE =，方向竖直向上；重力mg ；弹力N ，方向竖直向下．由向心力公式，有2Bv mg N qE m R+-=要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速度，临界条件是0N =．由此可列出小球的临界状态方程为2Bv mg qE m R-= ①根据动能定理，有21()(2)2B mg qE h R mv -⋅-= ②解之得：min 52h R =说明 把②式中的mg qE -换成2Bv m R，较容易求出min 52h R =【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电q 、质量为m 且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A 点的高度h 至少应为多少?【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速度，临界条件是0N =．由此可列出小球的临界状态方程为：2Bv mg qE m R+= ①根据动能定理，有21()(2)2B mg qE h R mv +⋅-= ②由上述二式解得：min 52h R =小结 上述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么?因为电场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关．我们不妨可以这样认为，例2中的“等效重力加速度1g ”比例1中的重力加速度g 减小，例3中的“等效重力加速度2g ”比例1中的重力加速度g 增大．图5图6例2中1v Rg =临界，211122mg h mg R mv =⋅+临界；例3中2v Rg =临界，222122mg h mg R mv =⋅+临界．把v 临界代入各自对应的式子，结果1mg 、2mg 分别都约去了，故min 52h R =． 【例4】如图7所示，一个带正电q 、质量为m 的电荷，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B (圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点A 的高度至少应为多少?【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B ，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速率，临界条件是0N =，由此可列出小球的临界状态方程为2BB v mg qv B m R+= ①2122B mgh mg R mv =⋅+， ②由①式可得: 224()2B R m g v qB qB m R ⎡⎤=±+⎢⎥⎢⎥⎣⎦因B v 只能取正值，即224()2B R m g v qB qB m R ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦则2222min242()8R m g h R qB qB R m g ⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦【例5】如图8所示，在竖直向下的均匀电场中，一个带正电q 、质量为m 的电荷，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B (圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点A 的高度h 至少应为多少?图7图 8【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B ，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速率，临界条件是0N =，由此可列出小球的临界状态方程为 2BB v mg qv B qE m R++= ①21()(2)2B mg qE h R mv +⋅-= ②由①式可得: 24()()2B R m v qB qB mg qE m R ⎡⎤=±++⎢⎥⎣⎦因B v 只能取正值，即24()()2B R m v qB qB mg qE m R ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦则222min42()()8()R m h R qB qB mg qE m mg qE R ⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦小结 小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特点，即都与速度v 的方向垂直，它们对小球都不做功，而临界条件是0N =．【例6】如图9所示，ABD 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB 段是水平的，BD 段为半径0.2m R =的半圆，两段轨道相切于B 点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小35.010V/m E =⨯.一不带电的绝缘小球甲，以速度0v 沿水平轨道向右运动，与静止在B 点带正电的小球乙发生弹性碰撞。

已知甲、乙两球的质量均为21.010kg m -=⨯，乙所带电荷量52.010C q -=⨯，g 取210m/s .(水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移)（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D ，求乙在轨道上的首次落点到B 点的距离；（2）在满足(1)的条件下。

求的甲的速度0v ；（3）若甲仍以速度0v 向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B 点的距离范围.【解析】（1）在乙恰能通过轨道最高点的情况下，设乙到达最高点速度为D v ，乙离开D 点到达水平轨道的时间为t ，乙的落点到B 点的距离为x ，则2D v mg qE m R += ① 212()2mg qE R t m+= ② D x v t = ③联立①②③得0.4x m =（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为v 甲、v 乙，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有0mv mv mv =+乙甲 ④ 2220111222mv mv mv =+乙甲 ⑤图 9联立④⑤得 0v v =乙 ⑥由动能定理，得22D 112222mg R qE Rmv mv -⋅-⋅=-乙 ⑦联立①⑥⑦得05()25m/s mg Eq Rv m+== ⑧（3）设甲的质量为M ，碰撞后甲、乙的速度分别为M m v v 、，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有0M m Mv Mv mv =+ ⑨2220111222M m Mv Mv mv =+ ⑩联立⑨⑩得02m Mv v M m=+ ○11 由○11和M m ≥，可得 002m v v v ≤＜ ○12 设乙球过D 点时速度为'D v ，由动能定理得'22112222D m mg R qE R mv mv -⋅-⋅=- ○13 联立⑧○12○13得'2m/s 8m/s D v ≤＜ ○14 设乙在水平轨道上的落点距B 点的距离'x ，有 ''D x v t = ○15 联立②○14○15得：'0.4m 1.6m x ≤＜【例7】如图10所示，杆长为L ，一端固定一质量为m 的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动．210m/s g =求：(1)小球在最高点A 的速度A v 为多少时，才能使杆和小球m 的作用力为零?(2)小球在最高点A 时，杆对小球的作用力F 为拉力和推力时的临界速度分别是多少? (3)若0.5kg m =，0.5m L =，0.4m/s A v =，则在最高点A 和最低点B ，杆对小球m 的作用力多大?【解析】此题属于“轻杆类”．若杆和小球m 之间无相互作用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力mg 提供，根据牛顿第二定律，有：2Av mg m L=解得A v gL (2)若小球m 在最高点A 时，受拉力F ，受力如图11所示，由牛顿第二定律，有:21v F mg m +=解得1FLv gL gL m=+> 若小球m 在最高点A 时，受推力F ，受力如图12所示，由牛顿第二定律，有: 22v mg F m L-=解得：2FLv gL gL m=- 图 10图11 图12可见A v gL =是杆对小球m 的作用力F 在推力和拉力之间突变的临界速度． (3)杆长0.5m L =时，临界速度0 2.2m/s v gL ==，00.4m/s<A v v =，杆对小球有推力A F ，有2AA v mg F m L-=，则 4.84N A F =．由A 至B 只有重力做功，机械能守恒．设B 点所处水平面为参考平面,则2211222A B mv mg L mv +⋅=, 解得24 4.5m/s B A v v gL =+=．在最低点B ，小球m 受拉力B F ，由2BB v F mg m L-=解得225.3N BB v F mg m L=+=．【例8】如图13所示，光滑的圆管轨道AB 部分平直，BC 部分是处于竖直平面内半径为R 的半圆，圆管截面半径r ，有质量为m 、半径比r 略小的光滑小球以水平初速度度0v 射入圆管.(1)若要小球能从C 端出来，初速0v 多大?(2)在小球从C 端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速度0v 各应满足什么条件?图13【解析】本题综合考查了竖直平面内圆周运动临界问题；属于“轻杆类”．(1)小球恰好能到达最高点的条件是0C v =，由机械能守恒，初速度应满足：2122mv mg R =⋅，即04v gR =要使小球能从C 端出来，需0C v ≥，所以入射速度04v gR (2)在小球从C 端出来瞬间，对管壁压力有以三种典型情况： ①刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，即2Cv mg m L=.由机械能守恒定律，知22011222C mv mg R mv =⋅+联立解得: 05v gR ②对下管壁有压力，应有2Cv mg m L>，相应的入射速度0v 045gR v gR③对上管壁有压力，此时应有2Cv mg m L<，相应的入射速度0v 应满足05v gR 小结 本题中的小球不能做匀速圆周运动，它的合力除最高点与最低点过圆心外，其他条件下均不过圆心，因而在一般位置处，它具有切向加速度.【例9】如图14所示，一内壁光滑的环形细圆管位于竖直平面内，环的半径R (比细管的半径大得多)，在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A B 、，质量分别为A B m m 、，沿环形管顺时针运动，当A 球运动到最低点时，速度为A v ，B 球恰到最高点，若要此时圆管的合力为零，B 的速度B v 为多大？【解析】本题综合考察了竖直平面内圆周运动临界问题的分析，属于“轻杆类”．在最低点对A球进行受力分析，如图15所示，应用牛顿第二定律有2AA A Av Nm g mR-=由牛顿第三定律，球A对管有向下的压力'A AN N=，根据题意''A BN N=,即球B对对管有向上的压力'BN，球B受力情况，如图16所示，由牛顿第三定律，管对球B有向下的压力BN,'B BN N=，对球B应用牛顿第二定律，有：2B B BvN m g mR+=,由于A BN N=联立可得2(1)A AB AB Bm mv v gRm m=++三、小球在凸、凹半球上运动如图17所示，小球在凸半球上最高点运动时：(1)当0v gR<<，小球不会脱离凸半球且能通过凸半球的最高点．(2)当v gR=，因轨道对小球不能产生弹力，故此时小球将刚好脱离轨道做平抛运动．(3)当v gR>，小球已脱离凸半球最高点做平抛运动．如图18所示，小球若通过凹半球的最低点时速度只要0v>即可．由以上分析可知，通过凸(或凹)半球最高点(或最低点)的临界条件是小球速度0v gR<<(或0v>)．【例10】如图19所示，汽车质量为41.510kg⨯，以不变速率通过凸形路面，路面半径为15m，若汽车安全行驶，则汽车不脱离最高点的临界速度为多少?若汽车达到临界速度时将做何种运动?水平运动位移为多少?图17 图18图 14图15 图16图19【解析】(1)此题属于“轻绳类”，即轨道只能沿某一方向给物体作用力，临界条件为汽车对轨道压力0N =，则汽车不脱离最高点的临界速度为0v ，则有：2v mg m R=，可得0v gR =；(2)当0v gR =时，汽车在轨道最高点仅受重力作用，且有初速度gR ，故做平抛运动，则 212R gt =，0x v t =,可得:2x R =． 【例11】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离d 后落地，如图20所示．已知握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为34d ，重力加速度为g ．忽略手的运动半径和空气阻力．（1）求绳断时球的速度大小1v 和球落地时的速度大小2v ． （2）问绳能承受的最大拉力多大？（3）改变绳长，使球重复上述运动。