1圆周运动的临界问题一 ．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F m ＝m rv 2，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。

二 与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。

【典例1】 (多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ，20) 如图1，两个质量均为m 的小木块a 和b ( 可视为质点 )放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。

若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ( )A ．b 一定比a 先开始滑动B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．ω＝lkg2是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝lkg32 时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC解析 木块a 、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力F f m ＝km g 相同。

它们所需的向心力由F 向＝mω2r知，F a < F b ，所以b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；a 、b 一起2绕转轴缓慢地转动时，F 摩＝mω2r ，r 不同，所受的摩擦力不同，B 项错；b 开始滑动时有kmg ＝mω2·2l ，其临界角速度为ωb ＝l kg 2 ，选项C 正确；当ω ＝lkg32时，a 所受摩擦力大小为F f ＝mω2 r ＝32kmg ，选项D 错误【典例2】 如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O 、A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m 的小球上，OA ＝OB ＝AB ，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB 始终在竖直平面内，若转动过程OB 、AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是( )A ．OB 绳的拉力范围为 0～33mg B ．OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg C ．AB 绳的拉力范围为33mg ～332mg D ．AB 绳的拉力范围为0～332mg 答案 B解析 当转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F 1，则2F 1cos 30°＝mg ， F 1＝33mg ，增大转动的角速度，当AB 绳的拉力刚好等于零时，OB 绳的拉力最大，设这时OB 绳的拉力为F 2，则F 2cos 30°＝mg ，F 2 ＝332mg ，因此OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg ，AB 绳的拉力范围为 0～33mg ，B 项正确。

【典例3】(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是()A．当ω＞2Kg3L时，A、B相对于转盘会滑动B．当ω＞Kg2L时，绳子一定有弹力C．ω在Kg2L＜ω＜2Kg3L范围内增大时，B所受摩擦力变大D．ω在0＜ω＜2Kg3L范围内增大时，A所受摩擦力一直变大答案ABD解析：当AB所受静摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘将会滑动，Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得：ω＝2Kg3L，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即：Kmg＝mω2·2L，解得：ω＝Kg2L，B项正确；当Kg2L＜ω＜2Kg3L时，随角速度的增大，绳子拉力不断增大，B所受静摩擦力一直保持最大静摩擦力不变，C项错误；0＜ω≤ Kg2L时，A所受摩擦力提供向心力，即F f＝mω2L，静摩擦力随角速度增大而增大，当Kg2L＜ω＜2Kg3L时，以AB整体为研究对象，F fA＋Kmg ＝mω2L＋mω2·2L，可知A受静摩擦力随角速度的增大而增大，D 项正确．【典例4】如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad /s时，上、下两绳拉力分别为多大？3解析：①当角速度ω很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC 并不张紧。

当ω逐渐增大到30°时，BC才被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零。

设这时的角速度为ω1，则有：T AC cos30°＝mgT AC sin30°＝mω12L sin30°将已知条件代入上式解得ω1＝2.4 rad／s②当角速度ω继续增大时T AC减小，T BC增大。

设角速度达到ω2时，T AC＝0（这又是一个临界状态），则有：T BC cos45°＝mg T BC sin45°＝mω22L sin30°将已知条件代入上式解得ω2＝3.16 rad／s所以当ω满足2.4 rad／s≤ω≤3.16 rad／s，AC、BC两绳始终张紧。

本题所给条件ω＝3 rad／s，此时两绳拉力T AC、T BC都存在。

T AC sin30°＋T BC sin45°＝mω2L sin30°T AC cos30°＋T BC cos45°＝mg将数据代入上面两式解得T AC＝0.27N，T BC＝1.09N【练习】1如图，一水平圆盘绕竖直中心轴以角速度ω做匀速圆周运动，紧贴在一起的M、N两物体(可视为质点)随圆盘做圆周运动，N恰好不下滑，M恰好不滑动，两物体与转轴距离为r，已知M与N间的动摩擦因数为μ1，M与圆盘面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．μ1与μ2应满足的关系式为()C4A．μ1＋μ2＝1B ．μ1μ2＝1C．μ1μ2＝1 D．μ1＋μ2μ1μ2＝1答案C解析：以M、N整体作为研究对象，则受力如图1所示，静摩擦力提供向心力，有F f＝(m N＋m M)ω2r，且F f＝μ2(m N＋m M)g，以N为研究对象，受力分析如图2所示，M对N的弹力F N提供向心力，有F N＝m Nω2r，且F f′＝μ1F N＝m N g，联立各式得μ1μ2＝1，故C正确．图1 图2 2．(2018·四川资阳一诊)(多选)如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角θ＝30°，此时细绳伸直但无张力，物块与转台间动摩擦因数为μ＝13，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，角速度为ω，重力加速度为g，则()A．当ω＝g2l时，细绳的拉力为0B．当ω＝3g4l时，物块与转台间的摩擦力为05C．当ω＝4g3l时，细绳的拉力大小为43mgD．当ω＝gl时，细绳的拉力大小为13mg答案AC解析：选当转台的角速度比较小时，物块只受重力、支持力和摩擦力，当细绳恰好要产生拉力时μmg＝mω21l sin 30°，解得ω1＝2g3l，随角速度的增大，细绳上的拉力增大，当物块恰好要离开转台时，物块受到重力和细绳的拉力的作用，mg tan 30°＝mω22l sin 30°，解得ω2＝23g3l，由于ω1＜3g4l＜ω2，所以当ω＝3g 4l 时，物块与转台间的摩擦力不为零，故B错误；由于g2l＜w1，所以当ω＝g2l时，细绳的拉力为零，故A正确；由于ω1＜gl ＜ω2，由牛顿第二定律得f＋F sin 30°＝m2⎥⎦⎤⎢⎣⎡lgl sin 30°，因为压力小于mg，所以f＜13mg，解得F＞13mg，故D错误；当ω＝4g3l＞ω2时，物块已经离开转台，细绳的拉力与重力的合力提供向心力，则mg tan α＝m234⎥⎦⎤⎢⎣⎡lgl sin α，解得cos α＝34，故F＝mgcos α＝43mg，故C正确．3 如图所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平肌，另一端通过光滑的小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。

现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g＝10m / s2）解析：要使m静止，M也应与平面相对静止。

而M与平面静止时有两个临界状态：当ω为所求范围最小值时，M有向着圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力的方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N。

6此时，对M运用牛顿第二定律。

有T－f m＝Mω12r且T＝mg解得ω1＝2.9 rad／s当ω为所求范围最大值时，M有背离圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最大静摩擦力2N。

再对M运用牛顿第二定律。

有T＋f m＝Mω22r解得ω2＝6.5 rad／s所以，题中所求ω的范围是： 2.9 rad／s＜ω＜6.5 rad／s178。