圆周运动的临界问题
1.圆周运动中的临界问题的分析方法
首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值．
2.竖直平面内作圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。
一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。
１．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。
（注意：绳对小球只能产生拉力）
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用
mg =2
v m R
v 临界Rg （2）小球能过最高点条件：v Rg （当v Rg
（3）不能过最高点条件：v Rg
（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道） ２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况 （注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。
）
（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg （F 为支持力）
（2）当0< v Rg F 随v 增大而减小，且mg > F > 0（F 为支持力） （3）当v Rg 时，F =0
（4）当v Rg F 随v 增大而增大，且F >0（F 为拉力）
注意：管壁支撑情况与杆一样。
杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． 由于两种模型过最高点的临界条件不同，所以在分析问题时首先明确是哪种模型，然后再利用条件讨论．
（3）拱桥模型
如图所示，此模型与杆模型类似，但因可以离开支持面，在最高点当物体速度达v =rg 时，F N =0，物体将飞离最高点做平抛运动。
若是从半圆顶点飞出，则水平位移为s =
2R 。
v
· 绳
v a b v 杆 图6-11-2 b
r m
竖直平面内作圆周运动的临界问题
（1）绳模型
1、如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O 在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F 可能 （ ）
A ．是拉力
B ．是推力
C ．等于零
D ．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零
2、如图，质量为0.5kg 的小杯里盛有1kg 的水，用绳子系住小杯在竖直
平面内做“水流星”表演，转动半径为1m ，小杯通过最高点的速度为4m/s ，g 取
10m/s 2
,求：
(1) 在最高点时，绳的拉力？ (2) 在最高点时水对小杯底的压力？
(3) 为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少?
（2）杆模型
1、长度为L ＝0.5 m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m ＝3.0kg 的小球，如图所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s ，g 取10m/s 2，则此时细杆OA 受到（ ）
A.6.0N 的拉力
B.6.0N 的压力
C.24N 的拉力
D.24N 的压力
2、如图所示，小球m 在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正
确的有：
A ．小球通过最高点的最小速度为
B ．小球通过最高点的最小速度为零
C ．小球在水平线ab 以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
D ．小球在水平线ab 以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
3、在质量为M 的电动机的飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到转轴的距离为r ，如图所示，
为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过( ) A ．
g mr m M + B ．g mr m
M + C ．
g mr m M - D ．
mr
Mg
A
L O
m
（3）拱桥模型
1、如图4－3－1所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m 的小球，当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时弹簧长度为L 1；当汽车以同一速度匀速率通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，弹簧长度为L 2，下列答案中正确的是( ) A ．L 1＝L 2 B ．L 1>L 2 C ．L 1<L 2 D ．前三种情况均有可能
2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体， 如图所示。
今给小物体一个水平初速度0v Rg
，则小物体将（ ）
A.沿球面下滑至 M 点
B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动 Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立即离开半圆球做平抛运动
3、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m ／s 时，车对桥的压力为车重的3
4 。
如果使汽车驶至桥顶时对
桥恰无压力，则汽车的速度为 （ ）
A 、15 m ／s
B 、20 m ／s
C 、25 m ／s
D 、30m ／s
3.水平面内作圆周运动的临界问题
在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。
这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
水平面内作圆周运动的临界问题
1、火车转弯做圆周运动，如果外轨和内轨一样高，火车能匀速通过弯道做圆周运动，下列说法中正确的是( ) A.火车通过弯道向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨容易磨损 B.火车通过弯道向心力的来源是内轨的水平弹力，所以内轨容易磨损 C.火车通过弯道向心力的来源是火车的重力，所以内外轨道均不磨损
D.以上三种说法都是错误的
2、如图所示，光滑的水平圆盘中心O 处有一个小孔，用细绳穿过小孔，绳两端各系一个小球A 和B ，两球质量相等，圆盘上的A 球做半径为r=20cm 的匀速圆周运动，要使B 球保持静止状态，求A 球的角速度ω应是多大
A
O
径为R的圆周滑行的运动员，若依靠摩擦力充当向心力，其安全速度为（）
4、如图所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴飞速转动，下列说法中正
确的是( )
A．物块处于平衡状态
B．物块受三个力作用
C．在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘
D．在物块到转轴距离一定时，物块运动周期越小，越不容易脱离圆盘
5、在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A
的质量为2m，B、C各为m．A、B离转轴均为r，C为2r．则（）
A．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大
B．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小
C．当转台转速增加时，C最先发生滑动
D．当转台转速继续增加时，A比B先滑动
6、如图所示，在水平转台上放有A、B两个小物块，它们距离轴心O分别为rA=0.2m，rB=0.3m，它
们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的0.4倍，g取10 m/s2，
（1）当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，求转台转动的角速度的范围；
（2）要使两物块都对台面发生滑动，求转台转动角速度应满足的条件。
7、如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。
物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。
求：
⑴当转盘角速度ω1＝μg
2r
时，细绳的拉力T1。
⑵当转盘角速度ω2＝3μg
2r
时，细绳的拉力T2。
A
B
r o
ω
8、一圆盘可以绕其竖直轴在图2所示水平面内转动，圆盘半径为R 。
甲、乙物体质量分别是M 和m （M>m ），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为)(R L L <的轻绳连在一起。
若将甲物体放在转轴位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘间不发生相对滑动，则转盘旋转角速度的最大值不得超过（两物体均看作质点）（ ）
A.
mL g
m M )(-μ B.
ML
g
m M )(-μ
C.
ML g
m M )(+μ D.
mL
g
m M )(+μ
ω
M
m
9、用一根细绳，一端系住一个质量为m 的小球，另一端悬在光滑水平桌面上方h 处，绳长l 大于h ，使小球在桌面上做匀速圆周运动．求若使小球不离开桌面，其转速最大值是( )
A ．h g π21
B ．
gh π C ．l g π21
D ．
g l π
2
10、 如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L 的细线悬挂一质量为m 的小球，圆锥顶角为2θ，若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？
11、如图所示，两绳系一质量为m ＝0.1kg 的小球，上面绳长L ＝2m ，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad/s 时，上、下两绳拉力分别为多大？。