（3）
cos 2 α + cos 2 β = 1
cos γ = 0
平面波分量的传播方向垂直于z 轴，沿z 轴方向 没有能量传播。
把A0 (fx,fy)和A (fx,fy)分别看作一个系统的输入和 输出，则
A ( f x , f y ) = A0 ( f x , f y ) H ( f x , f y )
基尔霍夫理论和角谱理论
2 2 U ( x, y ) = ∫ ∫ A0 ( f x , f y )exp jkz 1 − ( λ f x ) − ( λ f y ) exp j 2π ( f x x + f y y ) df x df y −∞ ∞
A0 ( f x , f y ) =
衍射的角谱理论
主要内容
• 回顾角谱概念 • 角谱的衍射理论 • 基尔霍夫理论与角谱理论（特点、统一） • 孔径对角谱的影响
角谱概念
A( fx , fy ) =
∞ −∞
∫ ∫ U ( x , y ) e x p − j 2π ( f
x y
x
x + f y y ) d x d y
U ( x, y ) =
U ( x, y ) =
∞
−∞
∫ ∫ A( f , f
x
y
) exp j 2π ( f x x + f y y ) df x df y
角谱传播
cos β cosα cos β cosα cos β cosα U ( x0 , y0 ) = ∫ ∫ A0 , exp j2π x0 + y0 d d （1） λ λ λ λ λ λ −∞
cos α cos β A , λ λ
cos α cos β = A0 , λ λ
exp jkz 1 − cos 2 α − cos 2 β
(
)
各平面波分量传播一段距离z仅仅是引入一定的 相移，振幅不受影响。不同方向传播的平面波分量 走过的距离不同，所以产生的相移和传播方向有关。
U t ( x0 , y0 ) = U i ( x0 , y0 ) t ( x0 , y0 )
At ( f x , f y ) = Ai ( f x , f y ) ∗ T ( f x , f y )
卷积有展宽带宽的性质，Ai的带宽为Aiω，T 的带宽为Tω ，则的带宽为： Atω =Aiω+Tω 。 在空域上，孔径限制了入射波面的大小；在 频域上，孔径展宽了入射光场的角谱。孔径 越小衍射越明显。
基尔霍夫理论和角谱理论是统一的，都 证明了光的传播现象可看作线性不变系统。
然而两者又有各自的特点，主要体现在 基尔霍夫理论从空域角度分析，角谱理论从 频域讨论光的传播。
基尔霍夫理论
把孔径平面光场看作点原的集合，观察平 面的光场分布等于它们发出的球面子波的相 干叠加。球面子波在观察平面上的复振幅分 布就是系统的脉冲响应。
角谱理论
把孔径平面光场分布看作沿不同方向传播 的平面波分量的线性组合。观察平面上场的 分布仍然等于平面波分量的相干叠加，每个 平面波分量引入相移，其大小决定于系统的 传递函数。
孔径对角谱的影响
前面只讨论了孔径到观察屏之间的光场和 角谱的变化，我们需要讨论孔径的入射光场 和透射光场之间的关系，才能形成从入射光 到观察屏的完整的角谱衍射理论。
谢谢！
U ( x, y ) = cos α cos β A ∫∫ λ , λ −∞
∞
∞
cos β cos α cos α exp j 2π x+ y d λ λ λ
cos β d （2） λ
将（2）代入 (∇2 + k 2 )U (P) = 0
(
)
（3）
（3）给出了角谱传播的规律，确定观察平面光 场的角谱后，可通过傅立叶逆变换求出复振幅分布。
讨论
（1）
（2）
cos 2 α + cos 2 β < 1
cos 2 α + cos 2 β > 1
cos 2 α + cos 2 β = 1
（3）
（1）
cos 2 α + cos 2 β < 1
H ( fx , f y ) =
2 2 = exp jkz 1 − ( λ f x ) − ( λ f y ) A0 ( f x , f y )
A( fx , f y )
当观察平面和孔径平面之间的距离z至少大于几个 波长时，倏逝波衰减到很小，可以忽略。传递函数可 以表示为
H ( fx , f y ) =
∞
−∞
∫ ∫U (x
∞
0
, y 0 ) exp − j 2π
(f
x
x 0 + f y y 0 ) dx 0 dy 0
U ( x, y ) =
−∞
∫ ∫ U ( x , y ) h ( x − x , y − y ) dx dy
0 0 0 0 0
0
2 2 exp jk z 2 + ( x − x0 ) + ( y − y0 ) h ( x − x0 , y − y0 ) = 2 2 jλ z 2 + ( x − x0 ) + ( y − y0 )
2 2 exp jkz 1 − ( λ f x ) − ( λ f y ) ,
f x2 + f y2 <
1
λ2
0 ,
其 他
fy
1/λ
O
fx
把光波的传播现象看作 一个空间滤波器。在圆 形区域内，对各分量的 振幅没有影响，但引入 相移。圆形区域外，传 递函数为零。空间频率 大于１/λ的信息，在单 色光照明下不能沿z方向 传递。
∞
−∞
∫ ∫ A( f , f
) exp j 2π ( f x x + f y y ) df x df y
exp j 2π ( f x x + f y y )
cos α =λ f x , cos β = λ f y
的平面波
复振幅分解的含义
单色光波场中某一平面上场的分布可 看作不同方向传播的单色平面波的叠加， 叠加时各平面波的振幅和常量相位取决于 角谱的模和辐角。
（2）
cos 2 α + cos 2 β > 1
cos α cos β A , λ λ
cos α cos β = A0 , λ λ
2 2 exp − kz cos α + cos β − 1
()Biblioteka 平面波分量在z方向按负指数规律迅速衰减，这 些角谱分量称为倏逝波。
cos α cos β 得：A , λ λ cos α cos β = A0 , λ λ exp jkz 1 − cos 2 α − cos 2 β
(
)
（3）
cos α cos β cos α cos β 2 2 = A0 A , , exp jkz 1 − cos α − cos β λ λ λ λ