小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b = 【③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△ 》EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造b a S 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．`四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． (三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为A BCDO ba S 3S 2S 1S 4O FED C BA三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高， ∴12ABG ABCDS S =△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△． ∴正方形ABCD与长方形EFGB面积相等． 长方形的宽：。

/~;》^8810 6.4=⨯÷=(厘米)．!【例 2】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHGDHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHDS S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=； 而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，)那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．、【例 3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 - 【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC )B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． &又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】 -【例 7】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少EDCBAABCDE【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S = @又∵5AB AD=∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．：【例 8】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 9】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理 #∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABCFBES AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 10】 如图所示的四边形的面积等于多少DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积. ^我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 11】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 12】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )． 又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， …所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 13】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 14】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标—所以551212DCEF ABC S S ==△方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△， 111111122323212DEFDEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△， 而211323CDE ABCS S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米y B CD EGE D CBAEDB A 【解析】 设1DEFS =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 15】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．,ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；】⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 16】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE△的面积．OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．:【例 17】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD SS S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AEDABCD S S =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFD S =平方厘米．因为16AFDABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 18】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道 )22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD S =(平方厘米)．【例 19】 :【例 20】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=，所以6AOC S =(平方厘米)，9AOD S =(平方厘米)，又6915ABC ACD S S ==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， '所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S∆==⨯+=(平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．|【例 21】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 22】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14．由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 23】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．(E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=．在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =， 那么325m n +=+=．【例 24】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．《A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形． 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 25】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △…GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEFS =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 26】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中Q E GNMFPA DCB点，BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．MHGF ED CBAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以 ::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFDABD ABCDS S S ∆∆==⨯=； 《又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=．解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置，::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCDS S S ∆∆=⨯=⨯⨯=【例 27】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS的面积为多少CACA【解析】 #【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PCMN DC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以 12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER AB EF =，所以2RB AB EF EF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )． 而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 28】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．'O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△。