任意角的三角函数
(一)
１．锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠A是锐角，∠C是直角 ,则：
想一想：如果现在把锐角Ａ改成是任意大小的 正角、负角或零角，那你觉得还能在直角三角 形中求解吗？为什么？你有什么好的办法吗？
设α是任意大小的角，以它的顶点为原点，以它 的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系。 （想一想:它的终边可能会在哪里？）
例4 判断满足以下条件的角的终边所在的位置： ①sinθ<0 且 tanθ>0 ②cosθ<0 且 tanθ<0
③cosθ>0 且 sinθ<0 ④cosθ≤0 且 tanθ≥0
回答下列问题:
1.角与角+2k的终边有何关系?
+2k
y
sin
2.角与角+2k的三角函数值有何关系?
o cos x
诱导公式一：
tanα.
y
B 1O
x
A
演练反馈：
已知角α= /2 ，分别求sinα，cosα，
tanα.
你记住了吗？
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
弧 度
0
6
43
2
2 3 5
346
3
2
2
0 1 0 1 0 sin
1 23
222
3 21 2 22
2
2
则角 属于第 象限角？
2
C
A.一 B.二 C.三 D.四
任意角的三角函数定义
sin y , cos x , tan y
r
r
x
csc r ,sec r , cot x
y
x
y
y P(x,y) 的终边 ● r
o
x
r x2 y2
三角函数
定义域
sin
R
cos tan
R { k , (k Z )}
sin( 2k ) sin,
cos( 2k ) cos, tan( 2k ) tan,其中k Z.
公式的作用:
可以把任意角的三角函数值分别转化为0到2的 角的同一三角函数值.
例5 （1） 确定下列三角函数值的符号：
① cos2500 ③sios( 7)
锐角三角函数是任意角的三角函数的特例。
区别： 锐角三角函数是以边长的比来定义的，都是
正值； 任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与 坐标的比来定义的，不一定是正值。
4、任意角的三角函数定义
sin y , cos x , tan y
r
r
x
csc r ,sec r , cot x
y
x
y
y P(x,y) 的终边 ● r
cosα，tanα.
3
在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单
y 位长度为半径的圆为单位圆(unit circle).
B
AOB的终边与单位圆的交点坐标为
1
O
x
1 2
,
3 2
A
sin( 4 ) 3
32
cos( 4 ) 1
3
2
tan( 4 ) 3
3
例3．已知角α= ，分别求sinα，cosα，
思考题
1.若点p(-8，y)是角α终边上一点，且sinα=3/5， 则y的值是____6______.
2.已知角α的终边经过点p(-4a，3a)，(a≠0)，求 sinα，cosα，tanα.
4. 已知是第三象限角, 求
sin tan cos sin tan cos
的值.
5、设角 属于第二象限角，且 cos cos ，
1 0 1 0 1 cos
3
21
2 22
1 2
2 3 22
0 1 tan
3
3
3
1 3
3
3
0
0
三角函数值在各象限的符号是怎样的？
y ++
ox --
y
-+
o -
+x
y
-+
+o
x -
sin y
ry
cos x
r
sin 全为+
ox
tan cos
cot
tan y
x
记法： 一全正 二正弦 三正切 四余弦
２．任意角的三角函数
y
r
y
ox
x
y
r y
注意：
xo x
其中点p不是原点，当角α的终边不在y轴上时，tanα才 有意义！
对应的函数分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数， 统称为三角函数。
3.概念辨析
任意角的三角函数定义与锐角三角函数的定义,有 什么区别和联系?
联系: 任意角的三角函数是锐角三角函数的推广；
5
（1）. 若sinα=1/3，且α的终边经过点p（—1，y）， 则α是第几象限的角？并求cosα，tanα的值。
y 2 ,r 3 2
4
4
（2）下列四个命题中，正确的是 A．终边相同的角都相等 B．终边相同的角的三角函数相等 C．第二象限的角比第一象限的角大 D．终边相同的角的同名三角函数值相等
o
x
r x2 y2
三角函数
定义域
sin
R
cos tan
R { k , (k Z )}
2
例１.已知角α的终边上一点p(－4，－3) ， 分别求sinα，cosα，tanα.
• 演练反馈： 已知角α的终边上一点p(－１，２)， 分别求sinα，cosα，tanα.
例２．已知角α= 4 ，分别求sinα，
2
小结
三角函数值的符号： “第一象限全为正，二正三切四余弦”
sinx
Tanx cotx
cosx
诱导公式一
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
小结
• 作业:P20A 1、2、3、4、6、7
注：角α的终边也可以在其它象限或坐标轴上。
在角α的终边上任取一点P(x，y)，它到原点的距离 为r (r>0)
想一想:(1)能不能用P点的坐标来表示α角的三角 函数呢？
(2).如果把P点在α角终边上移动，那么，x、y、 r是否随之改变?这三个比值是否也随之改变?为 什么?
由此可见，三个比值都是由角α完全决定，而 与点p在α的终边上的位置无关。