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高一数学 三角函数的概念


【例 2】(2011 年福建厦门模拟)已知点 P(sin 34π,cos 34π)落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),
则 θ 的值为( )
π3
5π 7
(A)4 (B)4π (C) 4 (D)4π
解析:由于点 P 可化为( 22,- 22),所以 P 点在第四象限, ∴θ=74π,故选 D.
错源:忽视对参数的讨论
三角函数的定义
【例 3】 (2010 年哈尔滨市五校联考)已知角 α 的终边上一点 P 的坐标为(- 3,y)(y≠0),
且 sin α=12y,则 cos α-tan1 α等于(
)
(A)
23或-
3 2
3 (B) 2
(C)-
3 2
(D) 23或-3 23
思路点拨:先根据任意角三角函数的定义求出 y,再求 cos α,tan α,进而求 cos α-tan1 α 的值.
第1节 三角函数的概念
1.角的有关概念
(1)角:角可以看成平面内一条射线绕着端 点从一个位置旋转到另一个位置所成的图 形.旋转开始时的射线叫做角的始边,旋 转终止时的射线叫做角的终边,射线的端 点叫做角的顶点.按逆时针方向旋转所形 成的角叫做正角,按顺时针方向旋转所形 成的角叫做负角,若一射线没作任何旋转,
(1)在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷. (2)从扇形面积出发,在弧度制下使问题转化为关于 R 的不等式或利用二次函数求最值的 方法确定相应最值. (3)记住下列公式:①l=αR;②S=12lR;③S=12αR2.其中 R 是扇形的半径,l 是弧长,α(0<α<2π)扇形的周长等于它所在圆的周长,则该扇形的圆心角为________,若 半径为 2,则该扇形的面积为________.
解析:设该扇形的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 α,面积为 S,则 2r+l=2πr, ∴l=(2π-2)r, ∴α=rl=2π-2. 若 r= 2,则 l=(2π-2) 2, ∴S=12lr=2π-2. 答案:2π-2 2π-2
正解:∵x=3a,y=4a,
∴r= 3a2+4a2= 25a2=5|a|. (1)当 a>0 时,r=5a, sin θ=yr=45,cos θ=xr=35,tan θ=yx=43; (2)当 a<0 时,r=-5a, sin θ=yr=-45,cos θ=xr=-35,tan θ=yx=43.
π (A)3
π (B) 6
(C)-π3
(D)-π6
解析:将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角.
∴A、B 不正确,又因为拨快 10 分钟,
∴应转过的角为圆周的16.
即-16×2π=-π3.故选 C.
5.若 θ 为第一象限角,则能确定为正值的是( C )
θ
θ
(A)sin 2 (B)cos 2
θ (C)tan 2 (D)cos 2θ
α=--13=
33,
∴cos α-tan1 α=- 23-
3=-3
2
3 .
所以选 D.
变式探究 31:求函数 y=lg(2sin x-1)+ 1-2cos x的定义域.
解:由21s-in2xc-os1x>≥00

sin x>12 cos x≤12

利用单位圆中的三角函数线可知函数 f(x)的定义域是:{x|π3+2kπ≤x<56π+2kπ,k∈Z}.
(4)弧度与角度的换算:1°=1π80 rad,1 rad=(18π0)°. (5)弧长公式:l=|α|r, 扇形面积公式:S 扇形=12l·r=12|α|·r2.
续 表
质疑探究 2:设 α 是一个任意角,点 P(x,y)是 α 的终边上的任意一点,如何求角 α 的 各个三角函数值?
提示:三角函数的值是一个实数,这个实数的大小和点 P(x,y)在终边上的位置无关, 对于确定的角 α,其终边的位置确定了,因此三角函数值也确定了,利用相似三角形的性质 可得:
2.若 α 是第二象限角,P(x, 5)是其终边上一点,且 cos α= 42x,则 x 的值为( D ) (A) 3 (B)2 2 (C)-2 2 (D)- 3
解析:∵α 是第二象限角,
∴x<0,r= x2+5,
∴cos α=
x= x2+5
42x,解得
x=-
3,故选 D.
3 . ( 教 材 改 编 题 ) 弧 长 为 3π , 圆 心 角 为 135° 的 扇 形 半 径 为 ________ , 面 积 为 ________.
解析:弧长 l=3π,圆心角 α=34π, 由弧长公式 l=|α|·r 得 r=αl =334ππ=4, 面积 S=12lr=6π. 答案:4 6π
4.已知函数 y=|ssiinn xx|+|ccooss xx|+|ttaann xx|,则函数的值域是________.
解析:显然角 x 的终边不在坐标轴上,当 x 是第一象限角时,y=3;当 x 是第二象限角 时,y=1-1-1=-1;当 x 是第三象限角时,y=-1+(-1)+1=-1;当 x 是第四象限角 时,y=-1+1-1=-1,∴函数的值域为{3,-1}.
sin α=yr,cos α=xr,tan α=yx,其中 r=|OP|= x2+y2.
质疑探究 3:设 α 是一个任意角,点 P(x,y)是 α 的终边上的任意一点,如何求角 α 的 各个三角函数值?
提示:三角函数的值是一个实数,这个实数的大小和点 P(x,y)在终边上的位置无关, 对于确定的角 α,其终边的位置确定了,因此三角函数值也确定了,利用相似三角形的性质 可得:
故csoinsscions2θθ<0.
(1)判断三角函数值的符号就是判断角 所在的象限.熟记各个三角函数在每个 象限内的符号是解决此类问题的关键.
(2)对于角所在象限的判断,关键是熟记 终边相同角的表示及变形形式.
变式探究11:已知点P(tan α,cos α)在 第三象限,则角α的终边在第________ 象限.( )
3.已知扇形的面积为 2,扇形圆心角的弧度数是 4,则扇形的周长为( C )
(A)2 (B)4
(C)6 (D)8
解析:设扇形的半径为 R,
则12R2|α|=2,
∴R2=1,∴R=1,
∴扇形的周长为 2R+|α|·R=2+4=6,
故选 C.
4.(2010 年山东临沂模拟)将表的分针拨快 10 分钟,则分针转过的弧度数是( C )
思路点拨:(1)可直接使用弧长公式计算,但注意角须用弧度制. (2)可用弧长或半径来表达出扇形的面积,然后确定其最大值.
解:(1)α=60°=π3 rad, ∴l=|α|·R=π3×10=130π cm.
(2)由题意得 l+2R=20, ∴l=20-2R(0<R<10). ∴S 扇=12l·R=12(20-2R)·R =(10-R)·R=-R2+10R. ∴当且仅当 R=5 时,S 有最大值 25. 此时 l=20-2×5=10,α=Rl =150=2 rad. ∴当 α=2 rad 时,扇形面积取最大值.
(A()A第) 55一(B)象255限 (B)第二象限 (C()C第)- 5三5 (象D)-限255 (D)第四象限
解析:由 r=|OP|= -12+22= 5,
解析得 sin:α=因25=为255s,in θcos θ>0,所以角θ在第一 或第∴选三B. 象限,又tan θcos θ<0,则角θ在 第三或第四象限,故角θ的终边落在第三
【例 1】 (2010 年江苏“金太阳”百校大联考)若 A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则点 P(cos B-sin A,sin B-cos A)在第________象限.
解析:由 A+B>π2知,A>π2-B, ∴sin A>cos B,同理 sin B>cos A, ∴点 P 在第二象限. 答案:二
(2)由 θ 是第二象限角,可求 cos θ,sin 2θ 的范围,进而把 cos θ,sin 2θ 看作一个用弧度 制的形式表示的角,并判断其所在的象限,从而 sin(cos θ),cos(sin 2θ)的符号可定.
解:(1)因为点 P 在第三象限, ∴sin θ·cos θ<0 且 2cos θ<0, 因此必有 sin θ>0,cos θ<0,故 θ 的终边在第二象限. (2)因为 θ 是第二象限角, 所以 cos θ<0,且-1<cos θ<0, 即 cos θ 是第四象限角, 因此 sin(cos θ)<0; 又 sin 2θ=2sin θ·cos θ<0, 所以-1≤sin 2θ<0, 即 sin 2θ 也是第四象限角, 因此 cos(sin 2θ)>0.
【例题】 已知角θ的终边上一点 P错(3解a:,∵4xa=)3a(,ay≠=40a,) , 求 θ 角 的 正 弦 、 余 弦 和 正 切值. ∴r= 3a2+4a2=5a,
于是 sin θ=yr=45,cos θ=xr=35, tan θ=yx=43. 错解分析:本题的错误在于求 r 时,没有考虑参数 a 的取值情况,默认为 a>0,从而导 致出错.
答案:{3,-1}
象限角、三角函数值符号的判断
【例 1】 (1)如果点 P(sin θ·cos θ,2cos θ)位于第三象限,试判断角 θ 的终边所在的象限.
(2)若
θ
是第二象限角,则 sincos θ 的符号是什么? cossin 2θ
思路点拨:(1)由点 P 所在的象限,知道 sin θ·cos θ,2cos θ 的符号,从而可求 sin θ 与 cos θ 的符号.
解析:∵|PO|= 3+y2,根据正弦函数的定义知 3+y y2=12y,
∵y≠0,解得 y=±1,
∴|PO|=2,P(- 3,±1).
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