第61课时 电磁感应中的动力学问题(题型研究课)[命题者说] 电磁感应动力学问题是历年高考的一个热点，这类题型的特点一般是单棒或双棒在磁场中切割磁感线，产生感应电动势和感应电流。

感应电流受安培力而影响导体棒的运动，构成了电磁感应的综合问题，它将电磁感应中的力和运动综合到一起，其难点是感应电流安培力的分析，且安培力常常是变力。

这类问题能很好地提高学生的综合分析能力。

(一) 运动切割类动力学问题考法1 单杆模型[例1] (2016·全国甲卷) 水平面(纸面)间距为l 的平行金属导轨间接一电阻，质量为m 、长度为l 的金属杆置于导轨上。

t ＝0时，金属杆在水平向右、大小为F 的恒定拉力作用下由静止开始运动。

t 0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。

杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ。

重力加速度大小为g 。

求 (1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小； (2)电阻的阻值。

单杆模型的分析方法(1)电路分析：导体棒相当于电源，感应电动势E ＝BLv ，电流I ＝ER ＋r。

(2)受力分析：导体棒中的感应电流在磁场中受安培力F 安＝BIL ，I ＝BLv R ＋r ，F 安＝B 2L 2vR ＋r。

(3)动力学分析：安培力是变力，导体棒在导轨上做变加速运动，临界条件是安培力和其他力达到平衡，这时导体棒开始匀速运动。

考法2 双杆模型[例2] (1)如图1所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度为B 的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计，导轨间的距离为l ，两根质量均为m 、电阻均为R 的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直。

在t ＝0时刻，两杆都处于静止状态。

现有一与导轨平行，大小恒为F 的力作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动，试分析金属杆甲、乙的收尾运动情况。

(2)如图2所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面，导轨上横放着两根导体棒ab 和cd ，构成矩形回路。

在整个导轨平面都有竖直向上的匀强磁场，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。

开始时，棒cd 静止，棒ab有指向棒cd的初速度。

若两导体棒在运动中始终不接触，试定性分析两棒的收尾运动情况。

两类双杆模型对比类型模型运动图像运动过程分析方法不受外力杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动；稳定时，两杆以相等的速度匀速运动将两杆视为整体，不受外力，最后a＝0 受到恒力开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动将两杆视为整体，只受外力F，最后a＝F2m考法3 含电容器问题[例3] (2013·全国卷Ⅰ)如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。

导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。

导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。

在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。

已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。

忽略所有电阻。

让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系。

这类题目易出现的错误是忽视电容器充电电流，漏掉导体棒所受的安培力，影响加速度的计算和导体棒运动情况的判断。

[集训冲关]1.如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面，相距为L。

一质量为m的导体棒cd垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。

轨道和导体棒的电阻均不计。

(1)如图1所示，若轨道左端M、P间接一阻值为R的电阻，导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道做匀速运动。

请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。

(2)如图2所示，若轨道左端接一电动势为E、阻为r的电源和一阻值未知的电阻。

闭合开关S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度v m，求此时电源的输出功率。

(3)如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。

电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t1时刻电容器两极板间的电势差为U1。

求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。

2.(2017·松江区期末)如图所示，两根粗细均匀的金属杆AB和CD的长度均为L，电阻均为R，质量分别为3m和m，用两根等长的、质量和电阻均不计的、不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，悬跨在绝缘的、水平光滑的圆棒两侧，AB和CD处于水平。

在金属杆AB的下方有高度为H的水平匀强磁场，磁感强度的大小为B，方向与回路平面垂直，此时CD 处于磁场中。

现从静止开始释放金属杆AB，经过一段时间(AB、CD始终水平)，在AB即将进入磁场的上边界时，其加速度为零，此时金属杆CD还处于磁场中，在此过程中金属杆AB上产生的焦耳热为Q。

重力加速度为g，试求：(1)金属杆AB即将进入磁场上边界时的速度v1；(2)在此过程中金属杆CD移动的距离h和通过导线截面的电量q；(3)设金属杆AB在磁场中运动的速度为v2，通过计算说明v2大小的可能围。

(二) 变化磁场类动力学问题[典例] 电磁弹射是我国最新研究的重大科技项目，原理可用下述模型说明。

如图甲所示，虚线MN右侧存在一个竖直向上的匀强磁场，一边长为L 的正方形单匝金属线框abcd 放在光滑水平面上，电阻为R ，质量为m ，ab 边在磁场外侧紧靠 MN 虚线边界。

t ＝0时起磁感应强度B 随时间t 的变化规律是B ＝B 0＋kt (k 为大于零的常数)，空气阻力忽略不计。

(1)求t ＝0时刻，线框中感应电流的功率P ；(2)若线框cd 边穿出磁场时速率为v ，求线框穿出磁场过程中，安培力对线框所做的功W 及通过导线截面的电荷量q ；(3)若用相同的金属线绕制相同大小的n 匝线框，如图乙所示，在线框上加一质量为M 的负载物，证明：载物线框匝数越多，t ＝0时线框加速度越大。

磁场变化类电磁感应问题的解题方法(1)用法拉第电磁感应定律计算感应电动势，用楞次定律判断方向。

(2)用闭合电路欧姆定律计算回路中电流。

(3)分析计算感应电流所受安培力，研究导体受力情况和运动情况。

(4)根据牛顿第二定律或平衡条件列出方程。

[集训冲关]如图所示，粗糙斜面的倾角θ＝37°，半径r ＝0.5 m 的圆形区域存在着垂直于斜面向下的匀强磁场。

一个匝数n ＝10匝的刚性正方形线框abcd ，通过松弛的柔软导线与一个额定功率P ＝1.25 W 的小灯泡A 相连，圆形磁场的一条直径恰好过线框bc 边。

已知线框质量m ＝2 kg ，总电阻R 0＝1.25 Ω，边长L ＞2r ，与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5。

从t ＝0时起，磁场的磁感应强度按B ＝2－2πt (T)的规律变化。

开始时线框静止在斜面上，在线框运动前，灯泡始终正常发光。

设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。

求： (1)小灯泡正常发光时的电阻R ；(2)线框保持不动的时间，小灯泡产生的热量Q 。

[课时达标检测] 一、选择题1.如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行金属轨道，上端接有可变电阻R ，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B ，一根质量为m 的金属杆(电阻忽略不计)从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度v m ，则( ) A.如果B 增大，v m 将变大 B.如果α增大，v m 将变大 C.如果R 变小，v m 将变大 D.如果m 变小，v m 将变大2.如图所示，两光滑平行金属导轨间距为L ，直导线MN 垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B 。

电容器的电容为C ，除电阻R 外，导轨和导线的电阻均不计。

现给导线MN 一初速度，使导线MN 向右运动，当电路稳定后，MN 以速度v 向右做匀速运动时( )A.电容器两端的电压为零B.电阻两端的电压为BLvC.电容器所带电荷量为CBLvD.为保持MN 匀速运动，需对其施加的拉力大小为B 2L 2vR3.(多选)(2017·二模)如图所示，在水平桌面上放置两条相距为l 的平行光滑导轨ab 与cd ，阻值为R 的电阻与导轨的a 、c 端相连。

质量为m 、电阻也为R 的导体棒垂直于导轨放置并可沿导轨自由滑动。

整个装置放于匀强磁场中，磁场的方向竖直向上，磁感应强度的大小为B 。

导体棒的中点系一不可伸长的轻绳，绳绕过固定在桌边的光滑轻滑轮后，与一个质量也为m 的物块相连，绳处于拉直状态。

现若从静止开始释放物块，用h 表示物块下落的高度(物块不会触地)，g 表示重力加速度，其他电阻不计，则( ) A.电阻R 中的感应电流方向由c 到a B.物块下落的最大加速度为gC.若h 足够大，物块下落的最大速度为2mgRB 2l2D.通过电阻R 的电荷量为Blh R4.(多选)如图所示，两足够长平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，金属棒ab 、cd 与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动，两金属棒ab 、cd 的质量之比为2∶1。

用一沿导轨方向的恒力F 水平向右拉金属棒cd ，经过足够长时间以后( )A.金属棒ab 、cd 都做匀速运动B.金属棒ab 上的电流方向是由b 向aC.金属棒cd 所受安培力的大小等于2F3 D.两金属棒间距离保持不变二、计算题5.如图所示，L 1＝0.5 m ，L 2＝0.8 m ，回路总电阻为R ＝0.2 Ω，M ＝0.04 kg ，导轨光滑，开始时磁场B 0＝1 T 。

现使磁感应强度以ΔBΔt＝0.2 T/s 的变化率均匀地增大。

试求：当t 为多少时，M 刚好离开地面？(g取10 m/s2)6.如图所示，在水平平行放置的两根光滑长直导电轨道MN与PQ上，放着一根直导线ab，ab与导轨垂直，它在导轨间的长度为20 cm，这部分的电阻r＝0.02 Ω。

导轨部分处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.20 T，电阻R＝0.08 Ω，其他电阻不计，ab的质量为0.02 kg。

(1)打开开关S，ab在水平恒力F＝0.01 N的作用下，由静止沿轨道滑动，求经过多长时间速度才能达到10 m/s？(2)当ab的速度达到10 m/s时，闭合开关S，为了保持ab仍能以10 m/s的速度匀速运动，水平拉力应变为多少？7.平行水平长直导轨间的距离为L，左端接一耐高压的电容器C。