电磁感应中的动力学和能量问题（计算题专练）1、如图所示，在倾角θ＝37°的光滑斜面上存在一垂直斜面向上的匀强磁场区域MNPQ，磁感应强度B的大小为5 T，磁场宽度d＝0.55 m，有一边长L＝0.4 m、质量m1＝0.6 kg、电阻R＝2 Ω的正方形均匀导体线框abcd通过一轻质细线跨过光滑的定滑轮与一质量为m2＝0.4 kg的物体相连，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4，将线框从图示位置由静止释放，物体到定滑轮的距离足够长．(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：(1)线框abcd还未进入磁场的运动过程中，细线中的拉力为多少？(2)当ab边刚进入磁场时，线框恰好做匀速直线运动，求线框刚释放时ab边距磁场MN边界的距离x多大？(3)在(2)问中的条件下，若cd边恰离开磁场边界PQ时，速度大小为2 m/s，求整个运动过程中ab边产生的热量为多少？解析(1)m1、m2运动过程中，以整体法有m1g sin θ－μm2g＝(m1＋m2)aa＝2 m/s2以m2为研究对象有F T－μm2g＝m2a(或以m1为研究对象有m1g sin θ－F T＝m1a)F T＝2.4 N(2)线框进入磁场恰好做匀速直线运动，以整体法有m1g sin θ－μm2g－B2L2vR＝0v＝1 m/sab到MN前线框做匀加速运动，有v2＝2axx＝0.25 m(3)线框从开始运动到cd边恰离开磁场边界PQ时：m1g sin θ(x＋d＋L)－μm2g(x＋d＋L)＝12(m1＋m2)v21＋Q解得：Q＝0.4 J所以Q ab＝14Q＝0.1 J答案(1)2.4 N (2)0.25 m (3)0.1 J2、如图所示，足够长的金属导轨MN、PQ平行放置，间距为L，与水平面成θ角，导轨与定值电阻R1和R2相连，且R1＝R2＝R，R1支路串联开关S，原来S闭合．匀强磁场垂直导轨平面向上，有一质量为m、有效电阻也为R的导体棒ab与导轨垂直放置，它与导轨粗糙接触且始终接触良好．现将导体棒ab从静止释放，沿导轨下滑，当导体棒运动达到稳定状态时速率为v，此时整个电路消耗的电功率为重力功率的34.已知重力加速度为g，导轨电阻不计，求：(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小和达到稳定状态后导体棒ab中的电流强度I；(2)如果导体棒ab从静止释放沿导轨下滑x距离后达到稳定状态，这一过程回路中产生的电热是多少？(3)导体棒ab达到稳定状态后，断开开关S，从这时开始导体棒ab下滑一段距离后，通过导体棒ab 横截面的电荷量为q ，求这段距离是多少？解析 (1)回路中的总电阻为：R 总＝32R当导体棒ab 以速度v 匀速下滑时棒中的感应电动势为：E ＝BLv此时棒中的感应电流为：I ＝E R 总此时回路的总电功率为：P 电＝I 2R 总 此时重力的功率为：P 重＝mgv sin θ根据题给条件有：P 电＝34P 重，解得：I ＝mgv sin θ2RB ＝32L mgR sin θ2v(2)设导体棒ab 与导轨间的滑动摩擦力大小为F f ，根据能量守恒定律可知：14mgv sin θ＝F f v解得：F f ＝14mg sin θ导体棒ab 减少的重力势能等于增加的动能、回路中产生的焦耳热以及克服摩擦力做功的和mg sin θ·x ＝12mv 2＋Q ＋F f ·x解得：Q ＝34mg sin θ·x －12mv 2(3)S 断开后，回路中的总电阻为：R 总′＝2R设这一过程经历的时间为Δt ，这一过程回路中的平均感应电动势为E ，通过导体棒ab 的平均感应电流为I ，导体棒ab 下滑的距离为s ，则：E ＝ΔΦΔt ＝BLsΔt ，I ＝E R 总′＝BLs 2R Δt得：q ＝I Δt ＝BLs2R解得：s ＝4q32vRmg sin θ3、如图所示，固定的光滑平行金属导轨间距为L ，导轨电阻不计，上端a 、b 间接有阻值为R 的电阻，导轨平面与水平面的夹角为θ，且处在磁感应强度大小为B 、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．质量为m 、电阻为r 的导体棒与一端固定的弹簧相连后放在导轨上．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有沿轨道向上的初速度v 0.整个运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．已知弹簧的劲度系数为k ，弹簧的中心轴线与导轨平行．(1)求初始时刻通过电阻R 的电流I 的大小和方向；(2)当导体棒第一次回到初始位置时，速度变为v ，求此时导体棒的加速度大小a ；(3)导体棒最终静止时弹簧的弹性势能为E p ，求导体棒从开始运动直到停止的过程中，电阻R 上产生的焦耳热Q .答案 (1)BLv 0R ＋r ，电流方向为b →a (2)g sin θ－B 2L 2v m (R ＋r ) (3)R R ＋r [12mv 20＋(mg sin θ)2k －E p ]解析 (1)初始时刻，导体棒产生的感应电动势E 1＝BLv 0通过R 的电流大小I 1＝E 1R ＋r ＝BLv 0R ＋r电流方向为b →a(2)回到初始位置时，导体棒产生的感应电动势为E 2＝BLv 感应电流I 2＝E 2R ＋r ＝BLv R ＋r导体棒受到的安培力大小为F ＝BI 2L ＝B 2L 2vR ＋r，方向沿斜面向上根据牛顿第二定律有：mg sin θ－F ＝ma解得a ＝g sin θ－B 2L 2vm (R ＋r )(3)导体棒最终静止，有：mg sin θ＝kx压缩量x ＝mg sin θk设整个过程回路产生的焦耳热为Q 0，根据能量守恒定律有12mv 20＋mgx sin θ＝E p ＋Q 0 Q 0＝12mv 20＋(mg sin θ)2k－E p电阻R 上产生的焦耳热 Q ＝R R ＋r Q 0＝R R ＋r [12mv 20＋(mg sin θ)2k－E p ]4、如图所示，两根足够长的平行导轨处在与水平方向成θ＝37°角的斜面上，导轨电阻不计，间距L ＝0.3 m ，导轨两端各接一个阻值R 0＝2 Ω的电阻；在斜面上加有磁感应强度B ＝1 T 、方向垂直于导轨平面的匀强磁场．一质量为m ＝1 kg 、电阻r ＝2 Ω的金属棒横跨在平行导轨间，棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.5.金属棒以平行于导轨向上、v 0＝10 m/s 的初速度上滑，直至上升到最高点的过程中，通过上端电阻的电荷量Δq＝0.1 C ，求上端电阻R 0产生的焦耳热Q.(g 取10 m/s 2)解析 由于导轨电阻不计，题中感应电路等效图如图所示，故ab 上升过程中通过电路的感应电荷量为：ΔQ ＝ΔΦR ＝2×Δq设ab 棒上滑的最大位移为x ，因此，B ·L ·xR＝2Δq解得：x ＝2 m设ab 杆上滑过程中上端电阻产生的焦耳热为Q ，则整个回路中产生的焦耳热为6Q ，由能量转化和守恒定律有： 12mv 20＝mgxs in 37°＋μmgxcos 37°＋6Q 解得：Q ＝5 J.5、如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L ，长为3d ，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d 的薄绝缘涂层。

匀强磁场的磁感应强度大小为B ，方向与导轨平面垂直。

质量为m 的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端。

导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R ，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g 。

求： (1)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ； (2)导体棒匀速运动的速度大小v ；(3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q 。

解析 (1)在绝缘涂层上运动时，受力平衡，则有mg sin θ＝μmg cos θ① 解得：μ＝tan θ②(2)在光滑导轨上匀速运动时，导体棒产生的感应电动势为： E ＝BLv ③则电路中的感应电流I ＝E R④导体棒所受安培力F 安＝BIL ⑤ 且由平衡条件得F 安＝mg sin θ⑥联立③～⑥式，解得v ＝mgR sin θB 2L 2⑦(3)从开始下滑到滑至底端由能量守恒定律得：3mgd sin θ＝Q ＋Q f ＋12mv 2⑧摩擦产生的内能Q f ＝μmgd cos θ⑨联立⑧⑨解得Q ＝2mgd sin θ－m 3g 2R 2sin 2θ2B 4L4⑩ 答案 (1)tan θ(2)mgR sin θB 2L 2(3)2mgd sin θ－m 3g 2R 2sin 2θ2B 4L46、如图甲，电阻不计的轨道MON 与PRQ 平行放置，ON 及RQ 与水平面的倾角θ＝53°，MO 及PR 部分的匀强磁场竖直向下，ON 及RQ 部分的磁场平行轨道向下，磁场的磁感应强度大小相同，两根相同的导体棒ab 和cd 分别放置在导轨上，与导轨垂直并始终接触良好。

棒的质量m ＝1.0 kg ，R ＝1.0 Ω，长度L ＝1.0 m 与导轨间距相同，棒与导轨间动摩擦因数μ＝0.5，现对ab 棒施加一个方向水向右，按图乙规律变化的力F ，同时由静止释放cd 棒，则ab 棒做初速度为零的匀加速直线运动，g 取10 m/s 2。

(1)求ab 棒的加速度大小； (2)求磁感应强度B 的大小；(3)若已知在前2 s 内F 做功W ＝30 J ，求前2 s 内电路产生的焦耳热；(4)求cd 棒达到最大速度所需的时间。

解析 (1)对ab 棒：F f ＝μmg v ＝atF －BIL －F f ＝maF ＝m (μg ＋a )＋B 2L 2at2R由图象信息，代入数据解得：a ＝1 m/s 2(2)当t 1＝2 s 时，F ＝10 N ，由(1)知B 2L 2at2R＝F －m (μg ＋a )，得B ＝2 T (3)0～2 s 过程中，对ab 棒，x ＝12at 21＝2 mv 2＝at 1＝2 m/s由动能定理知：W －μmgx －Q ＝12mv 22代入数据解得Q ＝18 J(4)设当时间为t ′时，cd 棒达到最大速度， F N ′＝BIL ＋mg cos 53° F f ′＝μF N ′ mg sin 53°＝F f ′mg sin 53°＝μ(B 2L 2at ′2R＋mg cos 53°)解得：t ′＝5 s答案 (1)1 m/s 2(2)2 T (3)18 J (4)5 s7、如图所示,两条足够长的平行光滑金属导轨,与水平面的夹角均为 ,该空间存在着两个磁感应强度大小均为B 的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ,区域Ⅰ的磁场方向垂直导轨平面向下,区域Ⅱ的磁场方向垂直导轨平面向上,两匀强磁场在斜面上的宽度均为L,一个质量为m 、电阻为R 、边长为L 的正方形金属线框,由静止开始沿导轨下滑,当线圈运动到ab 边刚越过ee ′即做匀速直线运动;当线框刚好有一半进入磁场区域Ⅱ时,线框又恰好做匀速直线运动.求:(1)当线框刚进入磁场区域Ⅰ时速度v(2)当线框刚进入磁场区域Ⅱ时的加速度a(3)当线框刚进入磁场区域Ⅰ到刚好有一半进入磁场区域Ⅱ的过程中产生的热量Q.解析 (1)ab 边刚越过ee ′即做匀速直线运动,线框 所受合力F 为零.E=Blv,I= ,则mgsin =BIL 解得v=(2)当ab 边刚越过ff ′时,线框中的总感应电动势为 E ′=2BLv此时线框的加速度为a= -gsin = -gsin =3gsin (3)设线框再次做匀速运动的速度为v ′,则 mgsin =2Bv ′= 由能量守恒定律得Q=mg × Lsin + ( mv 2- mv ′2) = mgLsin + 22sin mgR B L θ22sin 44mgR B L θ=32224415sin 32m g R B L θ8、如图甲所示,空间存在B=0.5 T,方向竖直向下的匀强磁场,MN、PQ是处于同一水平面内相互平行的粗糙长直导轨,间距L=0.2 m,R是连在导轨一端的电阻,ab是跨接在导轨上质量m=0.1 kg的导体棒.从零时刻开始,通过一小型电动机对ab棒施加一个牵引力F,方向水平向左,使其从静止开始沿导轨做加速运动,此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好.图乙是棒的v—t图象,其中OA段是直线,AC段是曲线,DE是曲线图象的渐近线,小型电动机在12 s末达到额定功率P额=4.5 W,此后功率保持不变.除R以外,其余部分的电阻均不计,g=10 m/s2.(1)求导体棒在0~12 s内的加速度大小.(2)求导体棒与导轨间的动摩擦因数及电阻R的阻值.(3)若t=17 s时,导体棒ab达到最大速度,从0~17 s内共发生位移100 m,试求12~17 s内,R上产生的热量是多少?解析(1)由v—t图象知a= = =0.75 m/s2(2)导体棒在0~12 s内做匀加速运动,电动机的输出功率在增大,12 s末达额定功率,做加速度逐渐减小的加速运动,16 s后做匀速运动.设12 s末的速度为v1,0~12 s内的加速度为a1,E1=Blv1,I1=由牛顿第二定律F1- mg-BI1L=ma1则P额=F1·v1在乙图C点时棒达到最大速度v m=10 m/sE m=Blv m,I m=由牛顿第二定律：F2- mg-BI m L=0则P额=F2·v m联立,代入数据解得=0.2,R=0.4 Ω(3)在0~12 s内通过的位移:x 1= (0+v1)t1=54 mAC段过程发生的位移:x2=100-x1=46 m由能量守恒:P0t=Q R+ mg·x2+ mv m2- mv12解得Q R=12.35 J答案(1)0.75 m/s2(2)0.2 0.4 Ω(3)12.35 J9、如图甲所示,MN、PQ是固定于同一水平面内相互平行的粗糙长直导轨,间距L＝2.0 m,R 是连在导轨一端的电阻,质量m＝1.0 kg的导体棒ab垂直跨在导轨上,电压传感器与这部分装置相连.导轨所在空间有一磁感应强度B＝0.50 T、方向竖直向下的匀强磁场.从t＝0开始对导体棒ab施加一个水平向左的拉力,使其由静止开始沿导轨向左运动,电压传感器测出R两端的电压随时间变化的图线如图乙所示,其中OA、BC段是直线,AB段是曲线.假设在1.2 s以后拉力的功率P＝4.5 W保持不变.导轨和导体棒ab的电阻均可忽略不计,导体棒ab在运动过程中始终与导轨垂直,且接触良好.不计电压传感器对电路的影响.g取10 m/s2.求：1ERΔΔt912mER(1)导体棒ab 最大速度v m 的大小；(2)在1.2 s ～2.4 s 的时间内,该装置总共产生的热量Q ； (3)导体棒ab 与导轨间的动摩擦因数μ和电阻R 的值.解析 (1)从题图乙可知,t ＝2.4 s 时R 两端的电压最大,U m ＝1.0 V,由于导体棒内阻不计,故U m ＝E m ＝BLv m ＝1.0 V,所以v m ＝E mBL＝1.0 m/s ①(6分) (2)因为U ＝E ＝BLv ,而B 、L 为常数,所以,在0～1.2 s 内导体棒做匀加速直线运动.设导体棒在这段时间内加速度为a .设t 1＝1.2 s 时导体棒的速度为v 1,由乙图可知此时电压U 1＝0.90 V. 因为U 1＝E 1＝BLv 1②所以v 1＝U 1BL＝0.90 m/s在1.2 s ～2.4 s 时间内,根据功能关系 12mv 21＋P ·Δt ＝12mv 2m ＋Q ③ 代入数据解得Q ≈5.3 J (6分) (3)导体棒做匀加速运动的加速度 a ＝v 1－0t＝0.75 m/s 2当t ＝1.2 s 时,设拉力为F 1,则有F 1＝P v 1＝5.0 N 同理,设t ＝2.4 s 时拉力为F 2,则有F 2＝P v m＝4.5 N 根据牛顿第二定律有 F 1－f －F 安1＝ma ④ F 2－f －F 安2＝0⑤ mg －N ＝0⑥ 又因为F 安1＝BI 1L ＝BLU 1R⑦ F 安2＝BI 2L ＝BLU mR⑧ f ＝μN ⑨联立④⑤⑥⑦⑧⑨,代入数据可求得 R ＝0.4 Ω,μ＝0.2 (6分)10、两根相距为L 的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面。