简述“霍普金斯”杆测量材料动态应力应变曲线的原理；选用一种大型软件对其进行计算模拟，并对模拟结果进行分析。

答：选用ABAQUS大型有限元软件
一、“霍普金斯”压杆理论：
Hopkinson压杆技术源于1914年B．Hopkinson测试压力脉冲的试验工作，后来R．M．Davies对它进行了改进。

1949年，H．Kolsky在这些基础上建立了进行材料单轴动态压缩性能试验的试验方法，测试了高应变率下金属材料的力学性能，这个方法称为分离式Hopkinson压杆(或Kolsky杆)技术。

其原理是将试样夹持于两个细长弹性杆(入射杆与透射杆)之间，由圆柱形子弹以一定的速度撞击入射弹性杆的另一端，产生压应力脉冲并沿着入射弹性杆向试样方向传播。

当应力波传到入射杆与试样的界面时，一部分反射回入射杆，另一部分对试样加载并传向透射杆，通过贴在入射杆与透射杆上的应变片可记录入射脉冲，反射脉冲及透射脉冲，由一维应力波理论可以确定试样上的应力、应变率、应变随时间的变化，以及应力、应变曲线。

5O多年来，此技术广泛用在高变形速率下材料力学性能的测试。

研究人员也对Hopkinson压杆试验方法进行了系统深入的研究，使该技术不断地改善和发展。

J．Harding 等在1960年将用于单轴压缩试验的Hopkinson压杆推广到了单轴拉伸试验，在此基础上，1983年又提出至今被广泛使用的Hopkinson拉杆试验方法。

W．E．Backer等、J．D．Campbell 等、J．Dully等又提出了Hopkinson扭杆技术，可对于试样施加高应变速率的纯扭转载荷。

为提高试验精度，前人在应力波的弥散效应、三维效应、应力波分离、试样中的瞬态平衡对试验结果的影响等方面做了大量工作。

分离式Hopkinson压杆实验的示意图如下：
图8-1 分离式Hopkinson压杆示意图
上图表示了压杆、试件和测试仪器等的位置安排。

压杆由高强度合金钢制成。

压杆与试件的接触面需要加工得很平并且保持平行。

压杆用塑料或尼龙稳定的支撑在底座上。

但要注意不能影响应力波的传递。

压杆分为输入杆、输出杆和动量杆三部分。

输入杆中的初始脉冲是用压缩弹簧或者火药枪发射的方法，在它的端部通过一个质量块或撞击杆的碰撞加载而产生的。

撞击杆与输入杆具有相同的材料和直径，因而撞击应力波可以无反射的传入输入杆。

由于撞击杆自由端的反射，一个拉伸卸载波通过界面进入输入杆，所以输入杆中入射脉冲的长度是撞击杆长度的两倍。

动量杆的端部用弹簧或活塞油缸吸走动量杆带走的无用动量。

初始输入应力的脉冲幅值与撞击速度成正比。

当输入杆中的入射脉冲到达试件界面时，一部分脉冲被反射，另一部分脉冲通过试件透射进输入杆。

这些入射、反射和透射脉冲的大小取决于试件材料的性质。

在加载脉冲的作用期间，试件中发生了多次内反射，因为加载脉冲的作用时间比短试件中波的传播时间要长得多，由于这些内反射，使得试件中应力很快地趋向均匀化，因此可以忽略试件内部的波的传播效应。

如果我们能够在压杆上记录入射、反射和透射脉冲的连续的应变—时间历史，那么就可
以决定试件界面上所受的力和位移的边界条件。

安装在压杆径向表面上的阻力应变传感器纪录了这些脉冲。

注意每个传感器到压杆端部之间的距离必须大于撞击杆的长度，以保证纪录数据的完整性。

假设测试记录的入射、反射和透射脉冲分别用,I R εε和T ε表示，根据试件与压杆的界面条件，按一维弹性波传播理论得到位移的表达式
00
t
u C dt ε=⎰
(8- 1)
式中u 是时间t 的位移，C 0是弹性纵波速度，ε是应变，输入杆界面上的位移u 1，不仅包括沿X 正向传播的入射应变脉冲I ε，同时也包括在X 负方向传播的反射应变脉冲R ε。

因此
()()1000
00
t t
I R t
I R u C dt C dt
C dt
εεεε=+-=-⎰⎰⎰ (8- 2)
类似的，输出杆截面上的位移u 2是由透射应变脉冲T ε造成的。

因此
200
t
T u C dt ε=⎰
(8- 3)
试件中的平均应变
()0
120
00
t
S I
R T C u u dt l l εε
εε-=
=--⎰
(8- 4)
式中，l 0为试件的初始长度，如果假设通过短试件的应力是常量，这就意味着试件长度
00l →，即
R T I εεε=-
(8- 5)
代入方程(8-4)中，得
2t
S R
C dt l εε
=-
⎰
(8- 6)
试件两端的荷载分别是
()12,I R T
F EA F EA εεε=+=
因此试件中的平均应力
()12122S I R T s s F F A E A A σεεε⎛⎫
+=
=++ ⎪⎝⎭
(8- 7)
式中E 是压杆的弹性模量，A 1/A S 是压杆与试件的截面比。

利用(8-5)上式可以简化为
S T S
A
E A σε⎛⎫=
⎪⎝⎭
(8- 8)
试件的平均应变率为
2
S R
C
l
εε
=(8- 9) 由于MARC不适合瞬态动力响应，这里用ABAQUS软件计算。

在这里采用显式算法的ABAQUS/Explicit中的Johnson-Cook模型。

Johnson-Cook方程为
()
1ln1
m
n r
m r
T T
A B C
T T
ε
σε
ε
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
-
⎢⎥
=++-
⎪ ⎪
-
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
(8- 10)
二、有限元计算模拟：
1、建立模型：
图8-2 Hopkinson杆模型图
模型尺寸信息如下表所示：
模型入射杆试件出射杆
尺寸(mm) φ⨯L 25⨯2040 18⨯22 25⨯2040
2、材料参数
入射杆和出射杆使用线弹性材料，弹性模量和泊松比分别为200GPa和0.3，密度为33
7.8510/
kg m
⨯。

材料参数如下表所示。

表8-2 试样材料参数
性质
密度
[Kg/m3]
杨氏模量
[MPa]
泊松
比
Johnson-Cook模型参数
数值 2.7⨯10368.0⨯1030.33
A[MPa] B[MPa] n C M
66.562 108.853 0.238 0.029 0.5 3、模型接触设置
由于是多部件动态问题，所以各部件间的接触设置对于模拟结果有重要影响。

这里主要设置了两个接触，一个为入射杆与试样接触面的接触和试样与出射干接触面间的接触。

这两个接触均为非摩擦接触。

4、载荷施加和网格划分
在入射杆入射端面施加事先设定好的应力脉冲，这里的应力脉冲曲线也是参考庄等人的工作，他们是在反复试验的基础上才得到该脉冲曲线。

通过调整系数设置可以得到试样不同的应变率响应。

具体如下图所示。

图8-3 输入应力脉冲
对于模型的网格划分，这里对入射杆、出射杆和试样均采用C3D8即3维应力8节点单元。

（a）入射杆
(b)初射杆
(c)试件
模型入射杆，试件，冲击杆单元总数共17160。

对试件细化网格。

图8-4 模型网格图
三、结果分析
有限元模拟中，可以清楚地看到应力在模型中随时间传播的规律，总共计算了5 10-4秒内应力的传播情况。

以下是间隔1e-4秒的应力云图。

0S 1e-4S
2e-4S 3e-4S
4e-4S 5e-4S
图8-6试件上中点应力随时间变化曲线图
图8-7试样上中点应变随时间变化曲线图
从图8-6可以看到，在应力波还未传到试样上时，试样上应力保持为0，当波峰传来时，应力随之增大，尾期的震荡是由于应力波传到试样与出射干接触面时一部分波被反弹给试样从而对试样的应力产生干扰产生的。

图8-7为应变率为70/s,100/s，200/s和250%情况下的试样中点处应力波随时间变化曲线，从中可以得到应力波传播与应变率之间的关系。

随着应变率的增大试样上应力的峰值也在增大，这很容易解释，因为我们是通过改变应力波的方式来控制试样的应变率变化的，当输入的应力波幅值增大时，试样的应变率也增大，同时传到试样上的应力也增大了，所以会出现图8-7所示的情况。

图8-8三种应变率下的试样应力-时间曲线图
图8-9三种应变率下的应变-时间曲线图
图8-10三种应变率下应变率随时间变化曲线图
图8-11三种应变率下应力应变曲线图
图8-11给出了试样的应力-应变曲线随应变率的变化情况。

从图中可以看出在不同的应变率下，材料表现出不同的应力应变关系，体现出本构模型中应变率的作用。

而且应力应变水平相对于应变率变化较大，在较高的应变率下，试件发生了较大的变形，承受的能力也较大。

参考文献：
[1]庄茁、张帆、岑松，《ABAQUS非线性有限元分析与实例》，科学出版社，2005，3
[2]陈德兴、胡时胜、张守宝，大尺寸Hopkinson压杆及其应用，实验力学，2005，9。