河北省衡水中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、设集合{|1},{|1}A x x B x x =>-=≥，则“x A ∈且x B ∉”成立的充要条件是（ ） A ．11x -<≤ B ．1x ≤ C ．1x >- D ．11x -<<
2、已知实数1,,9m 成等比数列，则圆锥曲线2
21x y m
-=的离心率为（ ）
A ．2 C 2 D 3、已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．,////m n m n αα⊂⇒
B ．,m n m n αα⊂⊥⇒⊥
C ．,,////m n n m αβαβ⊂⊂⇒
D ．,n n βααβ⊂⊥⇒⊥
4、一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）
A B C D 5、要得到函数()cos(2)3f x x π
=+的图象，只需将函数()sin(2)3
g x x π
=+的图象（ ）
A ．向左平移
2π个单位长度 B ．向右平移2π
个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4
π
个单位长度
6、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定
7、如图所示，医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，开始输液时，滴 管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x 分钟，瓶内 液面与进气管的距离为h 厘米，已知当0x =时，13h =，如果瓶内的药
液恰好156分钟滴完，则函数()h f x =的图象为（ ）
8、已知直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标点，
且有3
OA OB AB +≥
，那么k 的取值范围是（ ）
A ．)+∞
B ．
C ．
)
+∞ D ．
9、函数()32
42310
0x x x x f x e
x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，在[]2,2-上的最大值为2，则a 的取值范围是（ ）
A ．1
ln 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．10,
ln 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．(),0-∞ D ．1,ln 22⎛⎤
-∞ ⎥⎝⎦
10、抛物线的弦与过弦的断点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的断点的来两条切线的交点在其准线上，设抛物线
22(0)y px x =>，弦AB 过焦点，ABQ ∆且其阿基米德三角形，则ABQ ∆的面积的最小值为（ ）
A ．22
p B ．2p C ．22p D ．2
4p
11、四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面,ABCD BCD ∆是边长为3的等边三角形，若2AB =，则球O 的表面积为（ ）
A ．4π
B ．12π
C ．16π
D ．32π
12、若定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),2f x f x f x f x -=-=，且当[]0,1x ∈时，()f x =则函数()2
()H x xe f x =-在区间[]5,1-上的零点个数为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

. 13、已知
,sin 22cos 2
e π
απαα<<=，则cos()απ-=
14、已知12,F F 是双曲线2
2
1:13
y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是12,C C 在第一象限的公共点，若
121F F F A =，则2C 的离心率是
15、设,x y 满足约束条件32000,0x y x y x y --≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥≥⎩
，若目标函数2(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，
则
22
114a b +的最小值为 16、在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）
如图，在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 长为3
，且cos B =1cos 4ADC ∠=,
(1)求sin BAD ∠的值； （2）求AC 边的长。

18、（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60,BAD Q ∠=是AD 的中点 （1）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ； （2）若平面APD ⊥平面ABCD ，且2PA PD AD ===， 在线段PC 上是否存在点M ，使二面角M BQ C --的大小为60， 若存在，试确定点M 的位置，若不存在，请说明理由。

19、（本小题满分12分）
设不等式组4
0()x y y nx n N *⎧≤⎪
≥⎨⎪≤∈⎩
所表示的平面区域n D ，记n D 内整点的个数为n a （横纵坐标均为整数的
点称为整点）。

（1）2n =式，先在平面直角坐标系中做出平面区域n D ，在求2a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，试证明：对任意n N *
∈，恒有
12
2212
23S S S S +
+
2
5
(1)12
N N S n S +<+成立。

20、（本小题满分12分）
已知定圆22:(16M x y +=，动圆N
过点F 且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E （1）求轨迹E 的方程；
（2）设点,,A B C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC CB =，当ABC ∆的面积最小时，求直线AB 的方程。

21、（本小题满分12分）
已知函数()ln f x x a x =+，在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，函数()()2
12
g x f x x bx =+- （1）求实数a 的值；
（2）若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围； （3）设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若7
2
b ≥，求()()12g x g x -的最小值。

请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分）
如图，点A 是线段BC 为直径的圆O 上一点，AD BC ⊥于点D ，过点B 作圆O 的切线与CA 的延长线交于点E ，点G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P 。

（1）求证：BF EF = （2）求证：PA 是圆O 的切线。

23、（本小题满分10分） 已知函数()1f x x =-
（1）解不等式()()12f x f x +-≤；
（2）当0a >时，不等式()()23a f ax af x -≥-恒成立，求实数a 的取值范围。