2013～2014学年度上学期期中考试 高三年级数学（理科）试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0),1,==a b 则2+=a b （ ） （A（B）（C ）4 （D ）122．若集合{}{}2540;1,A x x x B x x a =-+=-＜＜则“(2,3)a ∈”是“B A ⊆”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3．已知平面向量,m n u r r 的夹角为,6π2,3==，在ABC ∆中，22AB m n =+uu u r u r r ，26AC m n =-uuu r u r r，D 为BC 中点，则AD =( )A.2B.4C.6D.84．某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆）， 则该几何体的表面积为（ ） （A ）9214+π （B ）8214+π （C ）9224+π （D ）8224+π5．已知等差数列{}n a 中，37101140,4a a a a a +-=-=，记12n n S a a a =+++L ，S 13=( ) A ．78B ．68C ．56D ．526．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -= D ．22143x y -=侧视正视图俯视图7．在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足sin cos a B b A =,则2sin cos B C -的最大值是( )A ．1 B. 3 C. 7 D. 278．若函数1()e (0,)ax f x a b b=-＞＞0的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是（ ） （A ）4 （B ）22（C ）2 （D ）29. 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，12,F F 分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P 使得122PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围是( )A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦10．已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ﹣ABC 的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O 的表面积为（ ）A ．24π B. 32π C. 48π D. 192π11．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（ ）（A ）10,5,5+∞U （]（） （B ）10,[5,5+∞U （）） （C ）11,]5,775U （（） （D ）11,[5,775U （））12．对于定义域为D 的函数()y f x =和常数c ，若对任意正实数ξ，,x D ∃∈使得0|()|f x c ξ<-<恒成立，则称函数()y f x =为“敛c 函数”．现给出如下函数： ①()()f x x x Z =∈； ②()()112xf x x Z ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；③ ()2log f x x =； ④()1x f x x -=.其中为“敛1函数”的有A ．①②B ．③④C ． ②③④D ．①②③Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13. 过点(1,1)-的直线与圆2224110x y x y +---=截得的弦长为43，则该直线的方程为 。

14已知动圆的圆心C 在抛物线x 2=2py （p ＞0）上，该圆经过点A （0，p ），且与x 轴交于两点M 、N ，则sin ∠MCN 的最大值为 ．15.如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()110,1x f x m m m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围 _____________.16．已知函数()f x 定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)x f x e x =+，给出下列命题： ①当0x >时，()(1);x f x e x =- ②函数()f x 有2个零点③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞U ④12,x x R ∀∈，都有12|()()|2f x f x -< 其中正确的命题是三、解答题（共7个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置） 17．如图所示，扇形AOB,圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P.（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的长；（2）设COP θ∠=,求POC ∆面积的最大值及此时θ的值。

18. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.19．（12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM 与直线PC 所成的角为60°． （1）求证：PC⊥AC；（2）求二面角M ﹣AC ﹣B 的余弦值； （3）求点B 到平面MAC 的距离．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(1)x y a b a b +=＞≥的离心率32e =，且椭圆C 上一点N 到点Q 03（，）的距离最大值为4，过点3,0M （）的直线交椭圆C 于点.A B 、 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u ru u u r（O 为坐标原点），当3AB ＜时，求实数t 的取值范围.21．已知函数f （x ）=alnx+（a≠0）在（0，）内有极值． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若x 1∈（0，），x 2∈（2，+∞）且a ∈[，2]时，求证：f （x 2）﹣f （x 1）≥ln2+．请考生在第22、23两题中任选一题作答。

注意：只能做所选定题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22. 如图，已知⊙O 的半径为1，MN 是⊙O 的直径，过M 点作⊙O 的切线AM ，C 是AM 的中点，AN 交⊙O 于B 点，若四边形BCON 是平行四边形. （Ⅰ）求AM 的长； （Ⅱ）求sin ∠ANC ．23.已知函数||)(a x x f -=。

（1）若m x f ≤)(的解集为}51|{≤≤-x x ，求实数m a ,的值。

（2）当2=a 且0≥t 时，解关于x 的不等式)2()(t x f t x f +≥+。

2013～2014学年度上学期期中考试高三年级数学（理科）答案一、选择题BAAAD CADBC AC11. 由(1)()f x f x +=-得(1)(2)f x f x +=-+，因此()(2)f x f x =+，函数周期为2.因函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，可转化成()y f x =与()log ||a h x x =两函数图象交点至少有6个，需对底数a 进行分类讨论.当1a >时：得(5)log 51a h =<，即5a >.当01a <<时：得(5)log 51a h -=≥-，即105a <≤.所以a 取值范围是10,5,5+∞U （]（）.12.①()()f x x x Z =∈；由于函数递增，那么不会存在一个正数ξ，满足不等式。

②()()112xf x x Z ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；当x>0,c=2,那么存在x ，满足题意，成立。

③ ()2log f x x =；对于1<x<2,令c=1,,时符号题意。

④()1x f x x-=.=1-1x ，x>1,c=3，则可知满足题意。

故选C.二、填空题13、13410x x y =-+-=或 14、1 15、34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦16. ③④14. 由题意，设C （x 0，y 0），则⊙C 的方程（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2=x 02+（y 0﹣p ）2． 把y=0和x 02=2py 0代入整理得x 2﹣2x 0x+x 02+p 2=0．设M 、N 的横坐标分别为x 1、x 2，则x 1=x 0﹣p ，x 2=x 0+p ．∴|MN|=|x 1﹣x 2|=2p ． ∵|CM|=|CN|==∴=1﹣∴﹣1≤cos ∠MCN ＜1，∵0＜∠MCN ＜π∴0＜sin ∠MCN ≤1， ∴sin ∠MCN 的最大值为1故答案为：116. 设0x >，则0x -<，故()(1)()xf x e x f x --=-+=-，所以()(1)xf x e x -=--+，故①错；因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，又0,(1)0x f <-=时，0(1)0x f >=时，，故()f x 有3个零点，②错；当0x <时，令()(1)0x f x e x =+>，解得10x -<<，当0x >时，令()(1)0xf x e x -=--+>解得1x >，综上()0f x >的解集为(1,0)(1,)-⋃+∞，③正确；当0x <时，()(2)xf x e x '=+，()f x 在2x =-处取最小值为21e-，当0x>时，()(2)xf x e x -'=-+，()f x 在2x =处取最大值为21e ，由此可知函数()f x 在定义域上的最小值为21e -，最大值为21e ，而222112()2e e e --=<，所以对任意的12,x x R ∈，都有12|()()|2f x f x -<，④正确 三、解答题 17、18、（1）∵n a 是n S 和1的等差中项，∴21n n S a =- 当1n =时，11121a S a ==-，∴11a = 当2n ≥时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ∴12n n a a -= ，即12nn a a -= 3分 ∴数列{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列，∴12n n a -=，21n n S =- 5分 设{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d =∴1(1)221n b n n =+-⨯=- 6分 （2）111111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===--+-+ 7分 ∴11111111(1...)(1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++ 9分 ∵*n N ∈,∴11112212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ 10分 ()()111021212121n n n n T T n n n n ---=-=>+-+- ∴数列{}n T 是一个递增数列 ∴113n T T ≥=. 综上所述，1132n T ≤< 12分 19、解：方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC ，∴PC⊥AC．（2分） （2）取BC 的中点N ，连MN ．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC ． 作NH⊥AC，交AC 的延长线于H ，连接MH ．由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN 为二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角． ∵直线AM 与直线PC 所成的角为60°， ∴在Rt△AMN 中，∠AMN=60°． 在△ACN 中，．在Rt△AMN 中，． 在Rt△NCH 中，．在Rt△MNH 中，∵，∴．故二面角M ﹣AC ﹣B 的余弦值为．（8分）（3）作NE⊥MH 于E ．∵AC⊥平面MNH ，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC ， ∴点N 到平面MAC 的距离为．∵点N 是线段BC 的中点，∴点B 到平面MAC 的距离是点N 到平面MAC 的距离的两倍为．（12分）方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC ，∴PC⊥AC．（2分）（2）在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示． 设P （0，0，z ），则．．∵，且z ＞0，∴，得z=1，∴．设平面MAC 的一个法向量为=（x ，y ，1），则由得得∴．平面ABC 的一个法向量为．．显然，二面角M ﹣AC ﹣B 为锐二面角，∴二面角M ﹣AC ﹣B 的余弦值为．（8分）（3）点B 到平面MAC 的距离．（12分）20、解析：（Ⅰ）∵2222223,4c a b e a a -=== ∴224,a b = （1分） 则椭圆方程为22221,4x y b b+=即22244.x y b +=设(,),N x y 则22222(0)(3)44(3)NQ x y b y y =-+-=-+-222236493(1)412y y b y b =--++=-+++当1y =-时，NQ 24124,b +=解得21,b =∴24a =，椭圆方程是2214x y += （4分） （Ⅱ）设1122(,),(,),(,),A x y B x y P x y AB 方程为(3),y k x =-由22(3),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=. 由24222416(91)(14)0k k k k ∆=--+＞，得215k ＜. 2212122224364,.1414k k x x x x k k-+=⋅=++ （6分） ∴1212(,)(,),OA OB x x y y t x y +=++=u u u r u u u r 则2122124()(14)k x x x t t k =+=+, []12122116()()6.(14)k y y y k x x k t t t k -=+=+-=+ 由点P 在椭圆上，得222222222(24)1444,(14)(14)k k t k t k +=++化简得22236(14)k t k =+① （8分） 又由21213,AB kx x =+-＜即221212(1)()43,k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦＜将12x x +，12x x 代入得 2422222244(364)(1)3,(14)14k k k k k ⎡⎤-+-⎢⎥++⎣⎦＜ 化简，得22(81)(1613)0,k k -+＞ 则221810,8k k -＞＞, ∴21185k ＜＜② （10分） 由①，得22223699,1414k t k k ==-++ 联立②，解得234,t ＜＜∴23t --＜＜或3 2.t ＜＜ （12分）21．解：（I ）由f （x ）=alnx+（a≠0），得：， ∵a≠0，令，∴g（0）=1＞0．令或， 则0＜a ＜2．(II ）由（I ）得：，设ax 2﹣（2a+1）x+a=0（0＜a ＜2）的两根为α，β， 则，得． 当x ∈（0，α）和（β，+∞）时，，函数f （x ）单调递增； 当x ∈和（2，β）时，，函数f （x ）单调递减， 则f （x 1）≤f（a ），f （x 2）≥f（β），则f （x 2）﹣f （x 1）≥f（β）﹣f （α）=alnβ﹣alnα﹣ ==（利用）令，x ＞2则，则函数h （x ）单调递增， h （x ）≥h（2）=2ln2+， ∴， ∵，则，∴f（x 1）﹣f （x 2）≥ln2+．22、（Ⅰ）连接BM ，则90MBN ∠=︒，因为四边形BCON 是平行四边形，所以BC ∥MN ，因为AM 是O e 的切线，所以MN AM ⊥，可得BC AM ⊥，又因为C 是AM 的中点，所以BM BA =，得45NAM ∠=︒，故2AM =. （5分）（Ⅱ）作CE AN ⊥于E 点，则2CE =，由（Ⅰ）可知5CN = 故10sin 10CE ANC NC ∠==. （10分）23.解：（Ⅰ）由|x ﹣a|≤m 得a ﹣m ≤x ≤a+m ， 所以解之得为所求． 4分 （Ⅱ）当a=2时，f （x ）=|x ﹣2|，所以()(2)|22||2|f x t f x t x t x t +≥+⇒-+--≤ 当t=0时，不等式①恒成立，即x ∈R ；当t ＞0时，不等式解得x ＜2﹣2t 或或x ∈ϕ，即； 综上，当t=0时，原不等式的解集为R ，当t ＞0时，原不等式的解集为． 10分。