B.
C.
D.
D. 第四象限
6. 已知 A.
， B.
，则
的值为（ ）．
C.
D.
7. 若
的值为 ，则
的值是（ ）．
A.
B.
C.
D.
8. 学完分式运算后，老师出了一道题“化简：
小明的做法是：原式 小亮的做法是：原式 小芳的做法是：原式
其中正确的是（ ）．
A. 小明
B. 小亮
”． C. 小芳
； ；
．
D. 没有正确的
，连接
（ 1 ）若 （ 2 ）若
，求 的度数． 的周长为 ，
，求 长．
28. 如图，已知直线 及其两侧两点 ， ．
图 （ 1 ） 在直线 上求一点 ，使点 到 ， 两点距离之和最短．（画在图 上）
（ 2 ） 在直线 上求一点 ，使
．（保留作图痕迹）（画在图 上）
（ 3 ） 在直线 上求一点 ，使 平分
（3）连接 ， ．
所以点 就是使
周长最小的点．
老师说：“小阳的作法正确．”
请回答：小阳的作图依据是
．
三、解答题
（共60分） 21. 计算：
（1） （2）
． ．
22. 解方程：
．
23. 回答问题： （ 1 ） 先化简，再求值：
，其中
．
（ 2 ） 已知
，
，求
的值．
24. 如图，
和
是等边三角形，连接 ， ．求证：
．
18. 已知
是正整数，则实数 的最大值为
．
19. 关于 的分式方程
的解为正数，则 的取值范围为
．
20. 阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 如图， ， 是直线 同侧两点，请你在直线 上确定一个点 ，使
的周长最小．
小阳的解决方法如下：
如图，
（1）作点 关于直线 的对称点 ；
（2）连接 交直线 于点 ；
A.
B.
C.
D.
2. 下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
4. 平面直角坐标系中，点
关于 轴的对称点在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
5. 下列运算正确的是（ ）．
A.
（一种方法即可）．
C.
D.
二、填空题
（共20分，每小题2分）
11. 若分式
的值为 ，则 的值是
．
12. 若关于 的分式方程
有增根，则增根是
．
13. 如果
，那么 的取值范围是
．
14. 如图，正方形的边长为 ，则图中阴影部分的面积为
．
15. 比较大小：
．（填“ ”、“ ”、“ ”）
16. 在实数范围内因式分解：
．
17. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则该等腰三角形的底角的度数为
．
25. 北京时间 年 月 日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得 年第 届冬季奥林匹克 运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成 为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批 复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约 千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速 度是普通快车的 倍，用时比普通快车用时少了 分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
9. 如图，已知
是等边三角形，点 是 上任意一点， 、 分别与两边垂直，等边三角
形的高为 ，则
的值为（ ）．
A.
B.
C.
D. 不确定
10. 如图，点 是
外的一点，点 、 分别是
两边上的点，点 关于 的对称点 恰好
落在线段 上，点 关于 的对称点 落在 的延长线上．若
，
，
，则线段 的长为（ ）．
A.
B.
26. 定义：任意两个数 ， ，按规则
扩充得到一个新数 ，称所得的新数 为“如意数”.
（ 1 ）若
， ，直接写出 ， 的“如意数” ；
（ 2 ） 如果
，
，求 ， 的“如意数” ，并证明“如意数”
；
（ 3 ） 已知
，且 ， 的“如意数”
，则
．(用含 的
式子表示)
27. 如图， ．
中，
， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ，且
2018~2019学年北京东城区汇文中学初二上学期期中数 学试卷
一、选择题
（共20分，每小题2分）
1. 石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体．石墨烯（
）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加 牛顿的压力才能使
米长的石墨烯断裂．其中
用科学记数法表示为（ ）．
．（保留作图痕迹）（画在图 上）
图
29. 我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性
质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数
叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称
为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，
如：
；
．
（ 1 ） 下列分式中，属于真分式的是：
（填序号）．
①
；②
；③
；④
．
（ 2 ） 将假分式 若假分式
（ 3 ） 将假分式
化成整式与真分式的和的形式为：
的值为正整数，则整数 的值为
．
化成整式与真分式的和的如图 ， ， 是 边上两点，
，
，求
的度数．
图
（ 2 ） 点 ， 是 边上的两个动点（不与点 ， 重合），点 在点 的左侧，且
，
点 关于直线 的对称点为 ，连接 ， ．
1 依题意将图 补全．
图 2 小茹通过观察、实验，提出猜想：在点 ， 运动的过程中，始终有
，小茹
把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法 ：要证
，只需证
是等边三角形．
想法 ：在 上取一点 ，使得 ．
，要证
，只需证
≌
请你参考上面的想法，帮助小茹证明