； ； ；
．
6. 已知 A.
【答案】 C 【解析】
， B.
，则
的值为（ ）．
C.
D.
7. 若
． 的值为 ，则
的值是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】 ∵若
，
∴
，
∴
，
则
．
∴
．
8. 学完分式运算后，老师出了一道题“化简：
小明的做法是：原式 小亮的做法是：原式 小芳的做法是：原式
其中正确的是（ ）．
2018~2019学年北京东城区汇文中学初二上学期期中数 学试卷(详解)
一、选择题
（共20分，每小题2分）
1. 石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体．石墨烯（
）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加 牛顿的压力才能使
米长的石墨烯断裂．其中
用科学记数法表示为（ ）．
A. 小明
B. 小亮
”． C. 小芳
【答案】 C 【解析】 原式
； ；
．
D. 没有正确的
， 所以小芳正确，故选 ．
9. 如图，已知
是等边三角形，点 是 上任意一点， 、 分别与两边垂直，等边三角
形的高为 ，则
的值为（ ）．
A.
【答案】 B 【解析】 ∵
∴
B.
是等边三角形， ，
C. ，
D. 不确定
又∵
【答案】 高铁列车的平均行驶速度为 千米/时．
【解析】 设普通快车的平均行驶速度为 千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为
时．
根据题意得
．
解得
．
经检验，
是所列分式方程的解，且符合题意．
∴
．
答：高铁列车的平均行驶速度为 千米/时．
千米/
26. 定义：任意两个数 ， ，按规则
扩充得到一个新数 ，称所得的新数 为“如意数”.
，
代入得原式
．
．
24. 如图，
和
是等边三角形，连接 ， ．求证：
．
【答案】 证明见解析． 【解析】 如图．
∵
和
是等边三角形，
∴
，
，
，
．
∴
．
∴
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
∴
．
25. 北京时间 年 月 日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得 年第 届冬季奥林匹克 运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成 为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批 复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约 千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速 度是普通快车的 倍，用时比普通快车用时少了 分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
．
（ 3 ） 将假分式
化成整式与真分式的和的形式：
．
【答案】（ 1 ）③
（2） （3）
; ，或
【解析】（ 1 ）根据题意可得，
，
，
都是假分式，
是真分式，
故答案为：③．
（ 2 ） 由题意可得，
，
若假分式
的值为正整数，
则
或
或
，
解得
或或．
（3）
，
故答案为：
．
30. 在等边
中，
（ 1 ） 如图 ， ， 是 边上两点，
．
（2）
．
【解析】（ 1 ）原式 ．
（ 2 ） 原式
．
22. 解方程：
．
【答案】
．
【解析】
检验：当 时，方程左右两边相等， ∴ 是原方程的解 ∴原方程的解是 ．
23. 回答问题： （ 1 ） 先化简，再求值：
，其中
．
（ 2 ） 已知
，
，求
的值．
【答案】（ 1 ） ．
（2）
．
【解析】（ 1 ）原式
将 （2）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】
．
2. 下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 D 【解析】 根据轴对称图形定义，沿图形中间画一条垂线，直线两侧图形相同的是轴对称图
形．
3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）．
A.
B.
C. 【答案】 D 【解析】
．
【答案】 或 【解析】 ①当等腰
为顶角是锐角，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
②当等腰
顶角为钝角，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
18. 已知
是正整数，则实数 的最大值为
【答案】 【解析】 由题
是一个完全平方数，且
． ，故其最小值为 ，
此时 取得最大值为
．
19. 关于 的分式方程
的解为正数，则 的取值范围为
．
【答案】 且
【解析】 方程两边同乘
叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称
为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，
如：
；
．
（ 1 ） 下列分式中，属于真分式的是：
（填序号）．
①
；②
；③
；④
．
（ 2 ） 将假分式
化成整式与真分式的和的形式为：
．
若假分式
的值为正整数，则整数 的值为
，
，
∴
，
同理，
，
∴
在等边
中，高
∴
，
又∵等边三角形的高为 ，
∴
．
，
， ，
10. 如图，点 是
外的一点，点 、 分别是
两边上的点，点 关于 的对称点 恰好
落在线段 上，点 关于 的对称点 落在 的延长线上．若
，
，
，则线段 的长为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 ∵点 、 关于 对称，
∴
，
∵
，
周长最小的点．
老师说：“小阳的作法正确．”
请回答：小阳的作图依据是
．
【答案】 两点之间线段最短；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【解析】 两点之间线段最短；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
三、解答题
（共60分） 21. 计算：
（1） （2）
． ．
【答案】（ 1 ）
想法 ：要证
，只需证
是等边三角形．
想法 ：在 上取一点 ，使得 ．
，要证
，只需证
≌
请你参考上面的想法，帮助小茹证明
【答案】（ 1 ）
．
（ 2 ）1 画图见解析．
2 证明见解析．
【解析】（ 1 ）∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即
（ 2 ）1
为
的外角，
．
为等边三角形，
．
，
，
，
，
，
．
（一种方法即可）．
得：
，
解得：
，
∵且
，
∴
，
解得： 且 ． 故答案为： 且 ．
20. 阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 如图， ， 是直线 同侧两点，请你在直线 上确定一个点 ，使
的周长最小．
小阳的解决方法如下： 如图，
（1）作点 关于直线 的对称点 ；
（2）连接 交直线 于点 ；
（3）连接 ， ．
所以点 就是使
（ 1 ）若
， ，直接写出 ， 的“如意数” ；
（ 2 ） 如果
，
，求 ， 的“如意数” ，并证明“如意数”
；
（ 3 ） 已知
，且 ， 的“如意数”
，则
．(用含 的
式子表示)
【答案】（ 1 ） （2） （3）
【解析】（ 1 ） （ 2 ）∵ ∴
． ．
． ，
∵ ∴．
（3）
．
27. 如图， ．
中，
， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ，且
，连接
（ 1 ）若 （ 2 ）若
，求 的度数． 的周长为 ，
，求 长．
【答案】（ 1 ） ． （2） ．
【解析】（ 1 ）∵ 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
（ 2 ）∵
周长 ，
，
∴
，
即
，
∴
，
即 的长为 ．
28. 如图，已知直线 及其两侧两点 ， ．
图 （ 1 ） 在直线 上求一点 ，使点 到 ， 两点距离之和最短．（画在图 上）
，那么 的取值范围是
．
，
14. 如图，正方形的边长为 ，则图中阴影部分的面积为
．
【答案】
【解析】 ∵正方形的边长为 ，
∴图中阴影部分的面积为
．
15. 比较大小：
【答案】 【解析】 ∵
∴ ∴
．（填“ ”、“ ”、“ ”）
，
．
．
．
16. 在实数范围内因式分解： 【答案】 【解析】
． ．
17. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则该等腰三角形的底角的度数为
，
，求
的度数．
图