第 21章 二次函数与反比例函数【知识点 1 函数 y=ax 2+bx+c 的解析式】1. 形如2y ax bx c =++（a ≠0）的函数叫做x 的二次函数；2. 形如(0)ky k x=≠的函数叫做x 的反比例函数； 典例 1 在下列函数表达式中，表示y 是 x 的二次函数关系的有 。

①213y x =-；②(5)y x x =-；③213y x =；④3(1)(2)y x x =+-；⑤4221y x x =++；⑥22(1)y x x =--；⑦2y ax bx c =++典例2 在下列函数表达式中，表示y 是 x 的反比例函数关系的有 。

①32y x =-；②k y x =-；③31y x -=+；④12y x =-；⑤21y x =；⑥12y x -=-；⑦xy =典例 3 若函数22(2)a y a x-=-是反比例函数，则a= ,若是二次函数，则a= 。

典例 4 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如表：则下列判断中正确C.当x=4时，y ＞0 D.方程ax 2+bx+c=0的正根在2与3之间典例 5 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点 A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （﹣1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数y=ax 2+bx+c 的图象上，则下列结论正确的是（ ）A.y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2【知识点 3 二次函数解析式的确定】1.待定系数法：一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) (条件：任意 点坐标)顶点式：2y ()(0)a x h k a =++≠（条件： 坐标+任意 点坐标）交点式：12()()y a x x x x =-- （条件：与 轴两交点坐标及任意 点坐标） 2.平移规律：左加右减，上加下减典例 6 抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （－3，0），对称轴为x ＝－1，顶点C 到x 轴的距离为 2，则此抛物线表达式为 。

典例7 抛物线在x 轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），则这个函数的关系式为 。

典例 8 抛物线y=x 2+bx +c 向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的表达式为y=x 2-2x-3，则b= ，c= 。

典例 9 若抛物线y=x 2+2bx+4 的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为 。

【知识点 4 二次函数系数与图象】 考查角度 1：判断a 、b 、c 与0比较大小， 决定了开口方向， 和 共同决定了对称轴的位置（左同右异）， 决定了抛物线与y 轴交点；（填a 、b 、c ） 考查角度 2：判断 b 2-4ac ，b 2-4ac>0（图象与坐标轴有 个交点），b 2-4ac=0(图象与坐标轴有 个交点), b 2-4ac<0(图象与坐标轴 交点)。

考查角度 3：判断2a+b 与0比较大小，用对称轴x=与1比较大小即可（解不等式过程中注意a 的符号），判断2a-b 与0比较大小，用对称轴x=与-1比较大小即可。

考查角度 4：（1）判断a+b+c 与0比较，可将x=1代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x 轴上方还是下方判断即可；判断a-b+c 与0比较，可将x=-1代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x 轴上方还是下方判断即可；（2）判断42a b c ±+与0比较大小，可将x= 代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x 轴上方还是下方判断即可；（3）判断93a b c ±+与0比较大小，可将x= 代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x 轴上方还是下方判断即可；之后判断同理……典例 10： 如图，是抛物线y ＝ax 2+bx+c (a ≠0) 的部分图象，则下列结论： ① abc>0 ；② 2a+b=0 ；③ b 2-4ac>0；④ a+b+c>0 ；⑤ 9a-3b+c>0 ；⑥ 3a+c>0；⑦ 2c<3b 其中正确的结论有 。

典例11 如图，是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，其顶点的纵坐标为m，则下列结论：①a－b＋c>0；②4a＋c>2b；③2a-b<0；④b2＝4a(c－m)；⑤一元二次方程ax2＋bx＋c＝m －1有两个不相等的实数根．其中正确结论有。

典例12如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①abc＞ 0 ；② b2-4ac＞ 0；③ 2a=b；④ a+b+c＞0 ；⑤ 3b+2c＜ 0；⑥ t（at+b）≤a-b（ t 为任意实数）。

其中正确结论有。

【知识点 5 二次函数与一元二次方程】一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标，因此一元二次方程中的△=b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点：（1）当△>0时，图像与x轴有个交点；（2）当△=0时，图像与x轴有个交点；（3）当△=b2-4ac <0时，图像与x轴交点。

典例 13二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，求：(1)函数解析式 _________________ ；(2)当 x______时， y 随 x 增大而减小；(3)由图象回答：当y＞ 0 时， x 的取值围 ______；当y＝ 0 时， x＝ ______；当y＜ 0 时， x 的取值围 ______；(4) 方程 ax2＋bx＋c=－3 的解为： ______．典例14 已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示，且关于x 的一元二次ax 2+bx+c-m=0没有实数根，则m 的取值围是 。

【知识点 6 二次函数的应用】典例15 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是 25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w （元）与销售单价 x （元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A 、B 两种营销方案： 方案A ：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B ：每天销售量不少于 10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．典例16 王强在一次高尔夫球的练习中， 在某处击球，其飞行路线满足抛物线21855y x x =-+，其中y （m ）是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有 2m ． (1) 请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． (2) 请求出球飞行的最大水平距离． (3) 若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．【知识点 7 反比例函数图象与性质】典例 17 在函数 21a y x--=（a 为常数）的图象上有三点（-3，y 1），（-1，y 2），（2，y 3），则函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是 。

典例 18 如下图，直线l x ⊥轴于点P ，且与反比例函数1212(0)(0)k ky x y x x x=>=>及图像分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为2，则12k k -= 。

第18题 图 第19题图 【知识点8 函数与一次函数综合】典例19 如图，已知A （-4，n ），B （2，-4）是一次函数y=kx+b 和反比例函数m y x=的图像的两个交点。

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；（3）由图像求：不等式0mkx b x+-<的解集；典例20 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C 。

抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是32x =-，且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B 。

（1） ① 直接写出点 B 的坐标； ② 求抛物线解析式．（2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA ， PC ．求 △PAC 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标．第 22 章 相似三角形【知识点1 比例的基本性质】（知识点请查阅教材或笔记）典例 1 （1）已知,329,578a b ca b c ==-+=且求2a+4b-3c= ；（2）若x 是a 、b 的比例中项，那么 。

典例 2 若723,230,323a c e a c e b d f b d f b d f+-===+-≠+-且那么= 。

典例 3 已知,k a b c a b c b c ak c b a+--++-===则的值是 。

【知识点2 黄金分割比】（知识点请查阅教材或笔记）典例 4 点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且AB=6cm ，则BC= 。

典例 5 已知点 C 在线段 AB 上，且点 C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞ BC)，则下列结论正确的是 ( )A ．AB 2 ＝AC •BC B ．BC 2＝ AC •BC C ． AC ＝512-BC D ． BC ＝352-AB 【知识点3 平行线分线段成比例】（知识点请查阅教材或笔记）典例 6如图， AD 为 △ ABC 的中线，AE ＝13AD ，BE 的延长线交AC 于点 F ，DH ∥BF ，则AFCH的值是多少？典例7 如图，在△ABC 中，DG ∥EC ，EG ∥BC.求证：AE 2＝AB ·AD典例 8 如图，在 △ ABC 中，正方形 EFGH 的两个顶点 E 、 F 在 BC 上，另外两个顶点 G 、 H 分别在 AC 、AB 上， BC = 15， BC 边上的高是 10，求正方形的面积。

典例 9 如图，四边形 ABCD 中，∠B= ∠D=90 °，M 是 AC 上一点， ME ⊥ AD 于点 E ，MF ⊥ BC 于点 F ，求证：1MF MEAB CD+=典例 10 如图，点 D 是 AB 边的中点， AF ∥BC ，CG ： GA=3:1 ， BC=8 ，求 AF 的长。

典例 11如图，在 △ ABC 与 △ ADE 中，∠ ACB= ∠ AED=90 °，∠ ABC= ∠ ADE ，连接 BD 、CE ，若 AC ：BC=3： 4，求 BD ： CE 的值.典例 12△ ABC 中， AB=AC ，点 D 、E 、 F 分别在 BC 、AB 、 AC 上， ∠ EDF= ∠ B ．(1)如图1，求证： DE ·CD=DF ·BE ； (2)如图 2，若 D 为 BC 中点，连接 EF ．求证： ED 平分 ∠ BEF ．典例 13已知：如图，△ABC中， CE⊥ AB ，BF⊥ AC ，求证：AE AC AF AB=典例 14如图，CD是Rt△ ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、 CD 于点 E、F，求证：AC·AE=AF·AB.典例 15已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线交AB于 D，交 BC 延长线于F。